Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas?
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada reduzida por linhas. O conteúdo envolvido é a definição de forma escalonada reduzida por linhas (RREF – Reduced Row Echelon Form) e vamos precisar checar cada uma das suas condições.

Passo 2

A forma escalonada reduzida por linhas exige quatro condições:
  1. Cada linha não nula começa com um 1 (pivot) e linhas totalmente nulas ficam abaixo das não nulas.
  2. Em cada coluna de pivot, o único elemento não nulo é o pivot (todos os outros são zero).
  3. Os pivots aparecem à direita dos pivots das linhas acima (estrutura “em degraus”).
  4. Cada pivot é o único elemento não zero em sua coluna (zero acima e abaixo).

Passo 3

Aplicando as condições a M:
  • Linha 1 começa com 1 e linha 2 também; linha 3 é totalmente nula e está embaixo das não nulas ⇒ condição 1 ok.
  • O pivot da linha 1 está em M_{1,1}; nessa coluna, abaixo dele só há zeros ⇒ condição 2 (parte da coluna do pivot) ok.
  • O pivot da linha 2 está em M_{2,2}, que fica à direita de M_{1,1} ⇒ degrau correto, condição 3 ok.
  • Nas colunas 1 e 2 os únicos não zeros são os pivots (M_{1,1}=1, M_{2,2}=1); há zeros acima e abaixo de cada pivot ⇒ condição 4 ok.

Resposta

A matriz está em forma escalonada reduzida por linhas.

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