Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
4 x_{1}-8 x_{2}=12
3 x_{1}-6 x_{2}=9
-2 x_{1}+4 x_{2}=-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} 4x_{1}-8x_{2}=12,\\\\ 3x_{1}-6x_{2}=9,\\\\ -2x_{1}+4x_{2}=-6. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan, em que montamos a matriz aumentada e fazemos operações de linha até obter a forma reduzida.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e, em seguida, normalizamos a primeira linha para ter 1 no pivô:
\left[\begin{array}{cc|c} 4 & -8 & 12\\\\ 3 & -6 & 9\\\\ -2 & 4 & -6 \end{array}\right]
Dividindo a linha 1 por 4 para tornar o pivô igual a 1:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\\\ 3 & -6 & 9\\\\ -2 & 4 & -6 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
  • L2 ← L2 − 3\cdotL1
  • L3 ← L 3+2\cdotL1
Isso gera:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 4

A forma reduzida mostra apenas uma equação não trivial,
x_{1}-2x_{2}=3,
e as demais linhas são zero, indicando variáveis livres.

Passo 5

Escolhemos x_{2}=t como parâmetro livre t\in\mathbb{R}. Da equação x_{1}-2x_{2}=3 obtemos
x_{1}=3+2t.

Resposta

A solução geral do sistema é
x_{1}=3+2t,\quad x_{2}=t,\quad t\in\mathbb{R}.

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