Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas?
\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá uma única matriz
\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
e pede para verificar se ela está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Vamos lembrar a definição de RREF e ver se a matriz satisfaz todas as condições.

Passo 2

Definição de forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
  1. Todas as linhas nulas aparecem abaixo de quaisquer linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) é igual a 1.
  3. Cada pivô está à direita do pivô da linha acima.
  4. Em cada coluna que contém um pivô, esse pivô é o único elemento não nulo na coluna.

Passo 3

Aplicando à matriz nula:
  1. Todas as linhas são nulas, logo não há linha não nula acima de linha nula — condição satisfeita de forma trivial.
  2. Não há linhas não nulas, então não precisamos de pivôs; a condição é satisfeita por vacuidade.
  3. Como não há pivôs, não há necessidade de deslocamento de pivôs para a direita; está satisfeita por vacuidade.
  4. Também não há colunas com pivô, então a unicidade na coluna está satisfeita por vacuidade.

Passo 4

Como todas as condições da forma escalonada reduzida por linhas são satisfeitas (algumas de forma vacuamente verdadeira), concluímos que a matriz nula está em RREF.

Resposta

A matriz
\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
está em forma escalonada reduzida por linhas.

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