Considere que
e que
, onde
é constante. Encontre uma expressão analítica para o deslocamento
e esboce um gráfico de
para 4 valores genéricos de
(use
). Considere
. Desenhe as quatro curvas no mesmo sistema de eixos e identifique o comportamento delas à medida que
aumenta. Qual seria o valor do deslocamento do objeto descrito nesse problema quando
?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
-
Informações dadas:
- A velocidade instantânea é
. - A função velocidade é
, onde e são constantes e . - Condição inicial:
.
- A velocidade instantânea é
-
Perguntas do enunciado:
- Encontrar uma expressão analítica para o deslocamento
. - Esboçar um gráfico de
versus para quatro valores genéricos de ligados por (ou seja, escolher quatro valores em que cada um é metade do anterior). - Identificar o comportamento das curvas quando
aumenta. - Determinar o valor do deslocamento quando
.
- Encontrar uma expressão analítica para o deslocamento
Passo 2
Vamos obter
integrando a relação entre velocidade e posição. Por definição,
Para encontrar
precisamos integrar ambos os lados em relação a
. A operação que usamos é a antiderivada: se
então
, onde
é a constante de integração.
Passo 3
Lembrete rápido sobre a integral de uma exponencial: para constante
,
No nosso caso temos
. Assim,
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Em
,
logo
Substituindo
na primitiva encontrada, obtemos a expressão final para
:
Passo 5
Interpretação física e propriedades úteis da função encontrada:
- A função é
- Para
dá , ok com a condição inicial. - Limite quando
:
ou seja, a posição tende assintoticamente a
. Esse é o deslocamento máximo total que o objeto alcança (pois após isso a velocidade tende a zero).
- Derivada inicial (slope em
): usando série de Taylor ou diretamente , tem-se que a inclinação inicial das quatro curvas é a mesma (todas começam com mesma velocidade inicial ).
Passo 6
Escolha prática para esboçar o gráfico (valores genéricos): para visualizar escolha-se
(apenas para escalas) e quatro valores de
que satisfaçam a relação proposta. Uma escolha conveniente é
porque então
. Para esses valores as quatro funções são
Os assimptotos (valores de
quando
) são, respectivamente,
Passo 7
Como esboçar o gráfico de
versus
com essas curvas (passo a passo prático):
- Desenhe eixos com
no eixo horizontal e no vertical. - Marque a origem
. Todas as curvas partem deste ponto. - A inclinação inicial (derivada em
) é para todas, então próximas da origem as curvas são praticamente coincidentes e com slope 1. - Cada curva sobe rapidamente e depois se achata, aproximando-se de seu valor assintótico
. Curvas com maiores se achatam mais rápido e têm assíntota menor. Logo a ordem das assíntotas é: - maior assíntota:
(chega a ); - menor assíntota:
(chega a ).
- maior assíntota:
- Para desenhar: trace quatro curvas que começam com mesma inclinação em
, depois a curva correspondente a sobe mais e atinge lentamente; a de atinge mais rápido; a de atinge ainda mais rápido; e a de atinge muito rapidamente (quase plano depois de pequeno). Identifique cada curva com seu . - Observação intuitiva: quanto maior
, mais rápido a velocidade decai (exponencial mais “rápido”) e menor é o deslocamento total acumulado.
Passo 8
Comportamento quando
aumenta e caso limite
:
- Para qualquer tempo fixo
,
Se
a fração
e
, então o produto tende a zero. Assim, para qualquer
,
Físicamente, isso significa que, embora a velocidade inicial seja
independente de
, a velocidade decai tão rapidamente quando
é muito grande que o objeto praticamente não se desloca (o deslocamento total tende a zero).
Resposta
Gráfico: quatro curvas do tipo acima com