Considere que v=d s / d t e que v(t)=v_{0} e^{-k t}, onde k é constante. Encontre uma expressão analítica para o deslocamento s=f(t) e esboce um gráfico de s \times t para 4 valores genéricos de k (use k=k_{1}=2 k_{2}=4 k_{3}=8 k_{4} ). Considere s(0)=0. Desenhe as quatro curvas no mesmo sistema de eixos e identifique o comportamento delas à medida que k aumenta. Qual seria o valor do deslocamento do objeto descrito nesse problema quando k \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
  • Informações dadas:
    • A velocidade instantânea é v=\dfrac{d s}{d t}.
    • A função velocidade é \;v(t)=v_{0}e^{-k t}\;, onde v_{0} e k são constantes e k>0.
    • Condição inicial: s(0)=0.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Encontrar uma expressão analítica para o deslocamento s=f(t).
    2. Esboçar um gráfico de s versus t para quatro valores genéricos de k ligados por \;k_{1}=2k_{2}=4k_{3}=8k_{4}\; (ou seja, escolher quatro valores em que cada um é metade do anterior).
    3. Identificar o comportamento das curvas quando k aumenta.
    4. Determinar o valor do deslocamento quando k\to\infty.

Passo 2

Vamos obter s(t) integrando a relação entre velocidade e posição. Por definição,
\frac{d s}{d t}=v(t)=v_{0}e^{-k t}.
Para encontrar s(t) precisamos integrar ambos os lados em relação a t. A operação que usamos é a antiderivada: se \dfrac{d s}{d t}=g(t) então s(t)=\int g(t)\,dt + C, onde C é a constante de integração.

Passo 3

Lembrete rápido sobre a integral de uma exponencial: para constante a\neq0,
\int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C.
No nosso caso temos a=-k. Assim,
\int v_{0}e^{-k t}\,dt = v_{0}\int e^{-k t}\,dt = v_{0}\left(\frac{1}{-k}e^{-k t}\right)+C = -\frac{v_{0}}{k}e^{-k t}+C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial s(0)=0 para determinar C. Em t=0,
s(0) = -\frac{v_{0}}{k}e^{-k\cdot 0}+C = -\frac{v_{0}}{k}\cdot 1 + C = 0,
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C=\frac{v_{0}}{k}.
Substituindo C na primitiva encontrada, obtemos a expressão final para s(t):
s(t)= -\frac{v_{0}}{k}e^{-k t} + \frac{v_{0}}{k} = \frac{v_{0}}{k}\bigl(1-e^{-k t}\bigr).

Passo 5

Interpretação física e propriedades úteis da função encontrada:
  • A função é
s(t)=\frac{v_{0}}{k}\bigl(1-e^{-k t}\bigr).
  • Para t=0 s(0)=\dfrac{v_{0}}{k}(1-1)=0, ok com a condição inicial.
  • Limite quando t\to\infty:
s(\infty)=\lim_{t\to\infty}\frac{v_{0}}{k}\bigl(1-e^{-k t}\bigr)=\frac{v_{0}}{k},
ou seja, a posição tende assintoticamente a \dfrac{v_{0}}{k}. Esse é o deslocamento máximo total que o objeto alcança (pois após isso a velocidade tende a zero).
  • Derivada inicial (slope em t=0): usando série de Taylor ou diretamente v(0)=v_{0}, tem-se que a inclinação inicial das quatro curvas é a mesma (todas começam com mesma velocidade inicial v_{0}).

Passo 6

Escolha prática para esboçar o gráfico (valores genéricos): para visualizar escolha-se v_{0}=1 (apenas para escalas) e quatro valores de k que satisfaçam a relação proposta. Uma escolha conveniente é
k_{1}=8,\qquad k_{2}=4,\qquad k_{3}=2,\qquad k_{4}=1,
porque então k_{1}=2k_{2}=4k_{3}=8k_{4}. Para esses valores as quatro funções são
s_{1}(t)=\frac{1}{8}\bigl(1-e^{-8t}\bigr),\quad s_{2}(t)=\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr),\quad s_{3}(t)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr),\quad s_{4}(t)=1\bigl(1-e^{-t}\bigr).
Os assimptotos (valores de s quando t\to\infty) são, respectivamente,
s_{1}(\infty)=\frac{1}{8}=0,125,\quad s_{2}(\infty)=\frac{1}{4}=0,25,\quad s_{3}(\infty)=\frac{1}{2}=0,5,\quad s_{4}(\infty)=1.

Passo 7

Como esboçar o gráfico de s versus t com essas curvas (passo a passo prático):
  • Desenhe eixos com t no eixo horizontal e s no vertical.
  • Marque a origem t=0,s=0. Todas as curvas partem deste ponto.
  • A inclinação inicial (derivada em t=0) é v_{0}=1 para todas, então próximas da origem as curvas são praticamente coincidentes e com slope 1.
  • Cada curva sobe rapidamente e depois se achata, aproximando-se de seu valor assintótico \dfrac{v_{0}}{k}. Curvas com k maiores se achatam mais rápido e têm assíntota menor. Logo a ordem das assíntotas é:
    • maior assíntota: k_{4}=1 (chega a 1);
    • menor assíntota: k_{1}=8 (chega a 0,125).
  • Para desenhar: trace quatro curvas que começam com mesma inclinação em t=0, depois a curva correspondente a k_{4}=1 sobe mais e atinge s\approx1 lentamente; a de k_{3}=2 atinge s\approx0,5 mais rápido; a de k_{2}=4 atinge s\approx0,25 ainda mais rápido; e a de k_{1}=8 atinge s\approx0,125 muito rapidamente (quase plano depois de t pequeno). Identifique cada curva com seu k.
  • Observação intuitiva: quanto maior k, mais rápido a velocidade decai (exponencial mais “rápido”) e menor é o deslocamento total acumulado.

Passo 8

Comportamento quando k aumenta e caso limite k\to\infty:
  • Para qualquer tempo fixo t>0,
s(t)=\frac{v_{0}}{k}\bigl(1-e^{-k t}\bigr).
Se k\to\infty a fração \dfrac{v_{0}}{k}\to0 e e^{-k t}\to0, então o produto tende a zero. Assim, para qualquer t\ge0,
\lim_{k\to\infty}s(t)=0.
Físicamente, isso significa que, embora a velocidade inicial seja v_{0} independente de k, a velocidade decai tão rapidamente quando k é muito grande que o objeto praticamente não se desloca (o deslocamento total tende a zero).

Resposta

s(t)=\dfrac{v_{0}}{k}\bigl(1-e^{-k t}\bigr)\n
Gráfico: quatro curvas do tipo acima com v_{0}=1 e k_{1}=8,\;k_{2}=4,\;k_{3}=2,\;k_{4}=1; todas começam em 0 com mesma inclinação inicial v_{0}, aproximam-se de assimptotos s(\infty)=v_{0}/k (respectivamente 0,125,\;0,25,\;0,5,\;1); à medida que k aumenta as curvas atingem seu assimptoto mais rápido e o valor do assimptoto é menor.\n
\displaystyle \lim_{k\to\infty}s(t)=0

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