Para os seguintes pares de aplicações, calcule as compostas f \circ g e g \circ f.
f(x)=\frac{1}{1-x}, g(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações e pede as suas compostas:
  • Funções dadas:
    • f(x)=\dfrac{1}{1-x}.
    • g(x)=x^{2}.
  • O que se quer: calcular f\circ g (isto é, f(g(x))) e g\circ f (isto é, g(f(x))).
    Todas as informações necessárias estão no enunciado.

Passo 2

Definição e ideia prática de composição:
  • Para duas funções f e g, a composição f\circ g é a função definida por
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
  • Isso significa: primeiro aplica-se g em x (substituir x por g(x) na expressão de f), e depois aplica-se f ao resultado.
  • Atenção importante ao domínio: um valor x só pertence ao domínio de f\circ g se x estiver no domínio de g e ao mesmo tempo g(x) estiver no domínio de f.

Passo 3

Cálculo de f\circ g (substituição direta):
  • Primeiro escrevemos a definição:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
  • Como g(x)=x^{2}, substituímos em f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(x^{2}\bigr)=\frac{1}{1-x^{2}}.
  • Podemos observar a fatoração do denominador, que às vezes ajuda a entender singularidades:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).

Passo 4

Domínio de f\circ g (explicação didática):
  • Domínio de g é todo \mathbb{R} porque x^{2} está definido para qualquer real.
  • Domínio de f é todos os y\in\mathbb{R} tais que 1-y\neq0, isto é, y\neq1.
  • Para que x esteja no domínio de f\circ g é preciso que g(x)\neq1. Como g(x)=x^{2}, isso dá x^{2}\neq1, ou seja x\neq\pm1.
  • Portanto o domínio de f\circ g é \mathbb{R}\setminus\{\pm1\}.

Passo 5

Cálculo de g\circ f (substituição direta):
  • Pela definição,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
  • Como g(t)=t^{2}, aplicando a t=f(x) obtemos
(g\circ f)(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{1}{1-x}\right)^{2}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 6

Domínio de g\circ f (explicação didática):
  • f(x)=\dfrac{1}{1-x} exige 1-x\neq0, logo x\neq1.
  • g aceita qualquer entrada real, mas como estamos passando f(x) para g, basta garantir que f(x) esteja definido.
  • Assim o domínio de g\circ f é \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Observação: embora o denominador em \dfrac{1}{(1-x)^{2}} seja zero só em x=1, não há outras restrições.

Passo 7

Checagem rápida com valores (para ganhar intuição):
  • Para x=0: (f\circ g)(0)=\frac{1}{1-0^{2}}=1,\qquad (g\circ f)(0)=\frac{1}{(1-0)^{2}}=1.
  • Para x=2: (f\circ g)(2)=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3},\qquad (g\circ f)(2)=\frac{1}{(1-2)^{2}}=1.
Isto mostra que, em geral, f\circ g e g\circ f são diferentes (composição não comuta).

Resposta

f\circ g(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}},\\ \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}\n
g\circ f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}},\\ \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}

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