Para os seguintes pares de aplicações, calcule as compostas
e
.
.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações e pede as suas compostas:
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- O que se quer: calcular
(isto é, ) e (isto é, ).
Todas as informações necessárias estão no enunciado.
Passo 2
Definição e ideia prática de composição:
- Para duas funções
e , a composição é a função definida por
- Isso significa: primeiro aplica-se
em (substituir por na expressão de ), e depois aplica-se ao resultado. - Atenção importante ao domínio: um valor
só pertence ao domínio de se estiver no domínio de e ao mesmo tempo estiver no domínio de .
Passo 3
Cálculo de
(substituição direta):
- Primeiro escrevemos a definição:
- Como
, substituímos em :
- Podemos observar a fatoração do denominador, que às vezes ajuda a entender singularidades:
Passo 4
Domínio de
(explicação didática):
- Domínio de
é todo porque está definido para qualquer real. - Domínio de
é todos os tais que , isto é, . - Para que
esteja no domínio de é preciso que . Como , isso dá , ou seja . - Portanto o domínio de
é .
Passo 5
Cálculo de
(substituição direta):
- Pela definição,
- Como
, aplicando a obtemos
Passo 6
Domínio de
(explicação didática):
-
exige , logo . -
aceita qualquer entrada real, mas como estamos passando para , basta garantir que esteja definido. - Assim o domínio de
é . - Observação: embora o denominador em
seja zero só em , não há outras restrições.
Passo 7
Checagem rápida com valores (para ganhar intuição):
- Para
: - Para
:
Isto mostra que, em geral,
e
são diferentes (composição não comuta).