Para os seguintes pares de aplicações, calcule as compostas f \circ g e g \circ f.
f(x)=x^{1 / 3}, g(x)=2^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as funções compostas f\circ g e g\circ f, dadas as aplicações:
f(x)=x^{1/3}, \qquad g(x)=2^{x}.
Informações dadas e pedidas:
  • Funções fornecidas: f e g conforme acima.
  • Calcular explicitamente (f\circ g)(x) e (g\circ f)(x).
  • Não há outras restrições no enunciado (assume-se domínio natural das funções).

Passo 2

Lembrete do que significa composição de funções (só para deixar claro): para duas funções f e g,
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)
ou seja, primeiro aplica-se g a x e depois aplica-se f ao resultado g(x). A ordem importa: f\circ g geralmente é diferente de g\circ f.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x) por substituição direta:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f\big(2^{x}\big).
Como f(t)=t^{1/3} para qualquer entrada t, substituímos t=2^{x}:
(f\circ g)(x)=\big(2^{x}\big)^{1/3}.
Usando a lei dos expoentes \big(a^{b}\big)^{c}=a^{bc} (válida aqui pois a=2>0), obtemos
(f\circ g)(x)=2^{x/3}.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x) por substituição direta:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(x^{1/3}\big).
Como g(u)=2^{u} para qualquer entrada u, substituímos u=x^{1/3}:
(g\circ f)(x)=2^{\,x^{1/3}}.
Também se pode escrever x^{1/3} como \sqrt[3]{x}, então
(g\circ f)(x)=2^{\sqrt[3]{x}}.

Passo 5

Domínios e imagens (para entender onde as composições estão definidas):
  • Domínio de f: todos os reais, pois a raiz cúbica é definida para números negativos e positivos.
  • Domínio de g: todos os reais (exponencial 2^{x} aceita qualquer x\in\mathbb{R}).
  • Assim, ambas as composições estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.
  • Imagens: tanto 2^{x/3} quanto 2^{x^{1/3}} são sempre positivas, então as imagens de ambas as compostas são (0,\infty).

Passo 6

Para ver que as duas compostas são realmente diferentes, um exemplo numérico simples (só para intuição):
(f\circ g)(8)=2^{8/3}=2^{2\frac{2}{3}}=2^{2,666\ldots}\approx 6{,}3496,
(g\circ f)(8)=2^{\sqrt[3]{8}}=2^{2}=4.
Como 6{,}3496\neq4, de fato (f\circ g)\neq(g\circ f).

Resposta

(f\circ g)(x)=2^{x/3}
(g\circ f)(x)=2^{x^{1/3}}

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