Para os seguintes pares de aplicações, calcule as compostas f \circ g e g \circ f.
f(x)=\sqrt{3-x}, g(x)=x^{3}-2 x+3.

Passo 1

O enunciado fornece as duas aplicações
f(x)=\sqrt{3-x},\qquad g(x)=x^{3}-2x+3
e pede para calcular as compostas f\circ g e g\circ f. Vou listar claramente o que é pedido:
  • Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).

Passo 2

Lembrando a definição: a composta f\circ g é a função que primeiro aplica g e depois aplica f ao resultado. Em notação,
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Substituindo g(x) em f:
(f\circ g)(x)=\sqrt{3-g(x)}.

Passo 3

Agora substituo explicitamente g(x)=x^{3}-2x+3 e simplifico:
(f\circ g)(x)=\sqrt{3-\bigl(x^{3}-2x+3\bigr)}=\sqrt{3-x^{3}+2x-3}=\sqrt{-x^{3}+2x}.
É comum reescrever o radicando fatorando:
-x^{3}+2x = x(2-x^{2}).
Portanto
(f\circ g)(x)=\sqrt{-x^{3}+2x}=\sqrt{x(2-x^{2})}.

Passo 4

Domínio de (f\circ g). Explicação didática: f é uma raiz quadrada, então o argumento precisa ser não negativo. Como g é polinomial (definido em todos os reais), a condição para x entrar em (f\circ g) é
3-g(x)\ge 0\quad\Leftrightarrow\quad g(x)\le 3.
Usando g(x)=x^{3}-2x+3 temos
x^{3}-2x+3\le 3\quad\Leftrightarrow\quad x^{3}-2x\le 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^{2}-2)\le 0.
As raízes são x=-\sqrt{2},0,\sqrt{2}. Fazendo análise de sinais (ou usando a fatoração x(2-x^{2})\ge0), conclui-se que a desigualdade vale em
(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[0,\sqrt{2}].
Portanto o domínio de (f\circ g) é (-\infty,-\sqrt{2}]\cup[0,\sqrt{2}].

Passo 5

Agora calculo g\circ f. Pela definição,
(g\circ f)(x)=g(f(x))=(f(x))^{3}-2f(x)+3.
Substituo f(x)=\sqrt{3-x}:
(g\circ f)(x)=\bigl(\sqrt{3-x}\bigr)^{3}-2\sqrt{3-x}+3=(3-x)^{3/2}-2(3-x)^{1/2}+3.

Passo 6

Simplificação alternativa (ajuda a ver estrutura): chamo s=\sqrt{3-x} (assim s^{2}=3-x). Então
(g\circ f)(x)=s^{3}-2s+3=s(s^{2}-2)+3.
Como s^{2}=3-x temos s^{2}-2=1-x. Logo
(g\circ f)(x)=s(1-x)+3=(1-x)\sqrt{3-x}+3.
Ambas as escritas são equivalentes:
(g\circ f)(x)=(3-x)^{3/2}-2(3-x)^{1/2}+3=(1-x)\sqrt{3-x}+3.

Passo 7

Domínio de (g\circ f). Aqui g é polinomial (domínio \mathbb{R}), mas f(x)=\sqrt{3-x} exige 3-x\ge0. Portanto o domínio de g\circ f é o domínio de f:
x\le 3,
ou seja (-\infty,3]. Não há restrição extra porque, uma vez f(x) é real e não negativa, g aceita qualquer número real.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{-x^{3}+2x}, com domínio (-\infty,-\sqrt{2}]\cup[0,\sqrt{2}].
(g\circ f)(x)=(3-x)^{3/2}-2(3-x)^{1/2}+3=(1-x)\sqrt{3-x}+3, com domínio (-\infty,3].

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