O domínio da composta g \circ f é {x \in domínio de f, tal que f(x) \in domínio de g}). Para os seguintes pares, encontre o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode servir como domínio de g \circ f.
f(x)=2 x-3, g(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode ser domínio de g\circ f. Dados importantes:
  • f(x)=2x-3.
  • g(x)=\sqrt{x}.
  • Lembrete fornecido: o domínio de g\circ f é \{x\in\text{dom}(f)\mid f(x)\in\text{dom}(g)\}.
    A pergunta explícita: qual é o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode servir como domínio de g\circ f?

Passo 2

Encontrar os domínios individuais de f e g.
  • Para f(x)=2x-3: é uma função linear. Uma função linear está definida para todo número real, portanto
\text{dom}(f)=\mathbb{R}.
Explanação curta: não há raízes quadradas, frações com variável no denominador ou logaritmos que limitem os valores; qualquer x\in\mathbb{R} dá um f(x) bem definido.
  • Para g(x)=\sqrt{x}: a raiz quadrada real está definida apenas para entradas não negativas. Logo
\text{dom}(g)=[0,\infty).
Explicando didaticamente: \sqrt{x} só retorna um número real se x\ge 0; se x<0 a raiz quadrada é não-real (complexa), então esses x não pertencem ao domínio quando se trabalha com funções reais.

Passo 3

Aplicar a regra do domínio da composição: precisamos dos x tais que x\in\text{dom}(f) e f(x)\in\text{dom}(g). Como \text{dom}(f)=\mathbb{R}, a única restrição vem de exigir que f(x)\in[0,\infty). Ou seja, devemos resolver
f(x)=2x-3 \in [0,\infty),
isto é,
2x-3 \ge 0.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo:
2x-3 \ge 0
Adiciona-se 3 aos dois lados:
2x \ge 3
Divide-se por 2 (positivo, então a desigualdade mantém o sentido):
x \ge \tfrac{3}{2}.
Portanto o conjunto de todas as soluções é \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge\tfrac{3}{2}\}.

Passo 5

Escrever o domínio da composição de forma habitual e a expressão da composta:
  • O maior subconjunto de \mathbb{R} que serve como domínio de g\circ f é
\left[\tfrac{3}{2},\infty\right).
  • Para esses x a composta é
(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{2x-3},
definida exatamente para x\ge\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Verificações rápidas para fixar a ideia (exemplos):
  • x=2: f(2)=2\cdot2-3=1\ge0, logo (g\circ f)(2)=\sqrt{1}=1 está OK.
  • x=1: f(1)=2\cdot1-3=-1<0, logo 1 não pertence ao domínio de g\circ f.
    Dica prática para a prova: sempre encontre \text{dom}(f) e \text{dom}(g), depois imponha f(x)\in\text{dom}(g); frequentemente a restrição vem da segunda função g.

Resposta

\left[\tfrac{3}{2},\infty\right)

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