O domínio da composta
é
domínio de
, tal que
domínio de
}). Para os seguintes pares, encontre o maior subconjunto de
que pode servir como domínio de
.
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede o maior subconjunto de
que pode ser domínio de
. Dados importantes:
-
. -
. - Lembrete fornecido: o domínio de
é .
A pergunta explícita: qual é o maior subconjunto deque pode servir como domínio de ?
Passo 2
Encontrar os domínios individuais de
e
.
- Para
: é uma função linear. Uma função linear está definida para todo número real, portanto
Explanação curta: não há raízes quadradas, frações com variável no denominador ou logaritmos que limitem os valores; qualquer
dá um
bem definido.
- Para
: a raiz quadrada real está definida apenas para entradas não negativas. Logo
Explicando didaticamente:
só retorna um número real se
; se
a raiz quadrada é não-real (complexa), então esses
não pertencem ao domínio quando se trabalha com funções reais.
Passo 3
Aplicar a regra do domínio da composição: precisamos dos
tais que
e
. Como
, a única restrição vem de exigir que
. Ou seja, devemos resolver
isto é,
Passo 4
Resolver a desigualdade passo a passo:
Adiciona-se
aos dois lados:
Divide-se por
(positivo, então a desigualdade mantém o sentido):
Portanto o conjunto de todas as soluções é
.
Passo 5
Escrever o domínio da composição de forma habitual e a expressão da composta:
- O maior subconjunto de
que serve como domínio de é
- Para esses
a composta é
definida exatamente para
.
Passo 6
Verificações rápidas para fixar a ideia (exemplos):
-
: , logo está OK. -
: , logo não pertence ao domínio de .
Dica prática para a prova: sempre encontree , depois imponha ; frequentemente a restrição vem da segunda função .