O domínio da composta g \circ f é {x \in domínio de f, tal que f(x) \in domínio de g}). Para os seguintes pares, encontre o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode servir como domínio de g \circ f.
f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x^{2},
e pede: "encontre o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode servir como domínio de g\circ f".
Também foi fornecida (na própria enunciação) a definição que usaremos: o domínio de g\circ f é o conjunto
\{x\in\text{dom}(f)\mid f(x)\in\text{dom}(g)\}.
Aqui as informações relevantes que temos são apenas as expressões de f e g.

Passo 2

Determinar \text{dom}(f).
A função f(x)=\sqrt{x} é a raiz quadrada real. Para que \sqrt{x} seja um número real, o radicando deve ser não negativo. Ou seja, precisamos de
x\ge 0.
Portanto
\text{dom}(f)=[0,\infty).
Breve lembrete: raiz quadrada real não aceita números negativos dentro do radical porque não existe número real cujo quadrado seja negativo.

Passo 3

Determinar \text{dom}(g).
A função g(x)=x^{2} é um polinômio (de grau 2). Polinômios estão definidos para todo número real, pois elevar um real ao quadrado sempre produz um real. Logo
\text{dom}(g)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 4

Aplicar a definição do domínio da composta.
Pelo que a definição pede, devemos tomar todos os x que pertencem a \text{dom}(f) e, além disso, verificar que f(x)\in\text{dom}(g). Em símbolos:
\text{dom}(g\circ f)=\{x\in[0,\infty)\mid \sqrt{x}\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Verificar a condição f(x)\in\text{dom}(g).
Como \text{dom}(g)=\mathbb{R}, todo valor real de entrada em g é permitido. Para x\in[0,\infty) temos \sqrt{x}\ge 0, que é um número real. Assim, para todo x\in[0,\infty) vale \sqrt{x}\in\mathbb{R}. Não há nenhuma restrição extra imposta por g.

Passo 6

Concluir o domínio da composta.
Como todos os x de \text{dom}(f)=[0,\infty) produzem f(x) que está em \text{dom}(g), o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode servir como domínio de g\circ f é exatamente [0,\infty).

Resposta

[0,\infty)

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