Nos seguintes pares de declarações, seja p a primeira declaração e q a segunda. Indique, para cada caso, se (5.1), (5.2) ou (5.3) se aplicam.
Um número é racional; ele pode ser expresso como uma razão entre dois inteiros.

Passo 1

O enunciado apresenta duas proposições:
  • p: “Um número é racional.”
  • q: “Ele pode ser expresso como uma razão entre dois inteiros.”
    O conteúdo é lógica proposicional, mais precisamente o estudo de implicações e equivalências. As três possibilidades são:
    ( 5.1) p Leftrightarrow q (equivalência),
    ( 5.2) p implies q (apenas p implica q),
    ( 5.3) q implies p (apenas q implica p).

Passo 2

Verificamos primeiro se pimplies q.
Por definição, um número racional é exatamente aquele que pode ser escrito como tfracab com a,binZ e bneq0. Logo, sempre que p for verdadeiro, q também será. Portanto
p!implies!q

Passo 3

Agora checamos qimplies p.
Se um número pode ser expresso como razão de dois inteiros, por definição ele é racional. Dessa forma, sempre que q for verdadeiro, p também o será. Logo
q!implies!p

Passo 4

Como tanto pimplies q quanto qimplies p são verdadeiras, temos a equivalência lógica
pLeftrightarrow q,
ou seja, a situação ( 5.1).

Resposta

( 5.1)

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