Nos seguintes pares de declarações, seja p a primeira declaração e q a segunda. Indique, para cada caso, se (5.1), (5.2) ou (5.3) se aplicam.
A matriz 4 times 4 é invertível; o posto da matriz 4 times 4 é 4.

Passo 1

O enunciado define p como “a matriz 4times4 é invertível” e q como “o posto da matriz é 4”. Precisamos decidir se se aplica (5.1) pRightarrow q, (5.2) qRightarrow p ou (5.3) pLeftrightarrow q.

Passo 2

Teorema fundamental: para uma matriz quadrada ntimes n sobre um corpo, as condições “é invertível” e “tem posto igual a n” são equivalentes. Vamos mostrar as duas direções.
pRightarrow q: se a matriz A de ordem 4 é invertível, então suas colunas são linearmente independentes e, portanto, rank(A)=4.
qRightarrow p: se rank(A)=4 numa matriz 4times4, então as colunas geram todo R^4 e o núcleo de A é trivial, o que implica que A é um isomorfismo e, portanto, invertível.

Passo 3

Como demonstramos pRightarrow q e qRightarrow p, concluímos que p e q são equivalentes, ou seja, cabe o caso (5.3).

Resposta

(5.3)

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