Nos seguintes pares de declarações, seja
a primeira declaração e
a segunda. Indique, para cada caso, se (5.1), (5.2) ou (5.3) se aplicam.
A matriz
é invertível; o posto da matriz
é 4.
A matriz
Passo 1
O enunciado define
como “a matriz
é invertível” e
como “o posto da matriz é
”. Precisamos decidir se se aplica (5.1)
, (5.2)
ou (5.3)
.
Passo 2
Teorema fundamental: para uma matriz quadrada
sobre um corpo, as condições “é invertível” e “tem posto igual a
” são equivalentes. Vamos mostrar as duas direções.
: se a matriz
de ordem
é invertível, então suas colunas são linearmente independentes e, portanto,
.
: se
numa matriz
, então as colunas geram todo
e o núcleo de
é trivial, o que implica que
é um isomorfismo e, portanto, invertível.
Passo 3
Como demonstramos
e
, concluímos que
e
são equivalentes, ou seja, cabe o caso (5.3).
Resposta
(5.3)