Encontre a equação da reta intersecção dos planos

$\begin{aligned} & \pi_{1}: 3 x-2 y+z+1=0 \\ & \pi_{2}: x-4 y+3 z=2 \end{aligned}$

Passo 1

O enunciado dá dois planos

\pi_{1}:3x-2y+z+1=0

\pi_{2}:x-4y+3z=2

.
O objetivo é encontrar a reta de intersecção desses planos, usando conceitos de vetores normais, produto vetorial para obter o vetor diretor e solução de sistemas lineares para achar um ponto comum.

Passo 2

O vetor normal de

\pi_{1}

n_{1}=(3,-2,1),

e o vetor normal de

\pi_{2}

n_{2}=(1,-4,3).

O vetor diretor

d

da reta de intersecção é perpendicular a ambos

n_{1}

n_{2}

, logo

d = n_{1}\times n_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = (-2\cdot3 - 1\cdot(-4),\;1\cdot1 - 3\cdot3,\;3\cdot(-4) -(-2)\cdot1) = (-2,\,-8,\,-10).

Fatorando

-2

, podemos escolher

d = (1,4,5).

Passo 3

Para encontrar um ponto

P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})

na reta, resolvemos o sistema dos dois planos. Da equação de

\pi_{1}

isolamos

z

z = -1 - 3x + 2y.

Substituindo em

\pi_{2}

x - 4y + 3(-1 - 3x + 2y) = 2

x - 4y - 3 - 9x + 6y = 2

-8x + 2y = 5

x = \frac{2y - 5}{8}.

Voltamos ao

z

z = -1 - 3\Bigl(\frac{2y-5}{8}\Bigr) + 2y = \frac{7}{8} + \frac{5y}{4}.

Escolhendo

y=0

para simplificar, obtemos

x_{0} = -\tfrac{5}{8},\quad y_{0} = 0,\quad z_{0} = \tfrac{7}{8}.

Passo 4

Usando o ponto

P_{0} = \bigl(-\tfrac{5}{8},0,\tfrac{7}{8}\bigr)

e o vetor diretor

d=(1,4,5)

, a reta de interseção fica parametrizada por

(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{5}{8},0,\tfrac{7}{8}\Bigr) + \lambda\,(1,4,5), \quad \lambda\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{ (x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{5}{8} + \lambda,\;4\lambda,\;\tfrac{7}{8} +5\lambda\Bigr), \\ \lambda\in\mathbb{R}. }

Encontre a equação da reta intersecção dos planos \begin{aligned} & \pi_{1}: 3 x-2 y+z+1=0 \\ & \pi_{2}: x-4 y+3 z=2 \end{aligned}