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Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?
2 x+y-z-2=0 e -x-2 y+2 z+3=0;

Passo 1

O enunciado fornece os dois planos em \mathbb{R}^3
P_1:2x+y-z-2=0
e
P_2:-x-2y+2z+3=0.
O conteúdo aqui é interseção de dois planos. Dois planos não coincidentes definem uma reta de interseção se, e somente se, seus vetores normais não forem paralelos.

Passo 2

Vamos extrair os vetores normais de cada plano. Para
P_1:2x+y-z-2=0
o vetor normal é
n_1=(2,\;1,\;-1).
Para
P_2:-x-2y+2z+3=0
o vetor normal é
n_2=(-1,\;-2,\;2).

Passo 3

Verificamos agora se n_1 e n_2 são múltiplos um do outro. Isso exigiria um escalar \lambda tal que
(2,1,-1)=\lambda\,( -1,-2,2).
Comparando coordenadas, teríamos
2=\lambda\cdot(-1),\quad 1=\lambda\cdot(-2),\quad -1=\lambda\cdot 2.
Da primeira equação \lambda=-2, mas da segunda \lambda=-\tfrac12, o que é incompatível. Logo, não existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades.

Passo 4

Como os vetores normais não são paralelos, os planos não são paralelos nem coincidentes. Dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3 sempre se intersectam segundo uma reta.

Resposta

Os planos 2x+y-z-2=0 e -x-2y+2z+3=0 se cortam segundo uma reta.

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