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Escreve a equação paramétrica do plano
\pi: 3 x-2 y+4 z-5=0

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica do plano
\pi:3x-2y+4z-5=0.
Conteúdo: representação vetorial de um plano no espaço. Para isso, precisamos de um ponto P qualquer em \pi e de dois vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 contidos em \pi (ou seja, ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}).

Passo 2

Encontrar um ponto P em \pi. Basta escolher valores para duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se y=1 e z=1, então
3x -2\cdot1 +4\cdot1 -5 = 0 \;\Longrightarrow\; 3x -2 +4 -5 = 0 \;\Longrightarrow\; 3x -3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1.
Logo, um ponto em \pi é
P = (1,1,1).

Passo 3

O vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = (3,-2,4).
Para achar vetores diretores \mathbf{v} em \pi, resolvemos \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Tomemos dois casos simples:
  1. Se escolhermos y=1 e z=0, então
    3v_x -2\cdot1 +4\cdot0 = 0 \;\Longrightarrow\; 3v_x = 2 \;\Longrightarrow\; v_x = \tfrac{2}{3}.
    Assim, podemos definir
    \mathbf{v}_1 = \bigl(\tfrac{2}{3},\,1,\,0\bigr).
  2. Se escolhermos y=0 e z=1, então
    3v_x -2\cdot0 +4\cdot1 = 0 \;\Longrightarrow\; 3v_x = -4 \;\Longrightarrow\; v_x = -\tfrac{4}{3}.
    Assim, definimos
    \mathbf{v}_2 = \bigl(-\tfrac{4}{3},\,0,\,1\bigr).

Passo 4

Montamos a equação vetorial paramétrica do plano como
\mathbf{r}(s,t) = \overrightarrow{OP} + s\,\mathbf{v}_1 + t\,\mathbf{v}_2,
onde \overrightarrow{OP}=(1,1,1) e s,t\in\mathbb{R}. Em coordenadas,
(x,y,z) = (1,1,1) + s\Bigl(\tfrac{2}{3},1,0\Bigr) + t\Bigl(-\tfrac{4}{3},0,1\Bigr).

Resposta

\boxed{ \begin{cases} x = 1 + \tfrac{2}{3}\,s - \tfrac{4}{3}\,t,\\\ y = 1 + s,\\\ z = 1 + t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}. }

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