Qual dos seguintes planos são paralelos ao plano 3 x+y-2 z=5, se houver algum?
(a) x+y-z=3
(b) 3 x+y-2 z=0
(c) x+13 y-23 z=5

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos planos
x+y-z=3,
3x+y-2z=0 e
x+tfrac13y-tfrac23z=5
são paralelos ao plano
3x+y-2z=5.
O conteúdo é Geometria Analítica em que usamos o vetor normal para testar paralelismo de planos.

Passo 2

Um plano dado por Ax+By+Cz=D tem vetor normal (A,B,C). Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais forem proporcionais, isto é, existir kneq0 tal que
(A1,B1,C1)=k,(A2,B2,C2).

Passo 3

O plano alvo 3x+y-2z=5 tem normal
n=(3,1,-2).
Para o plano (a) x+y-z=3, o normal é
na=(1,1,-1).
Procuramos k em
(1,1,-1)=k,(3,1,-2).
Da primeira coordenada k=tfrac13 e da segunda k=1, o que é contraditório, logo não há k comum e o plano (a) não é paralelo.

Passo 4

Para o plano (b) 3x+y-2z=0, o normal é
nb=(3,1,-2),
que coincide com n. Basta k=1 para nb=k,n, portanto o plano (b) é paralelo ao dado.

Passo 5

Para o plano (c) x+tfrac13y-tfrac23z=5, o normal é
nc=(1,tfrac13,-tfrac23).
Multiplicando por 3 obtemos
(3,1,-2)=n,
ou seja nc é proporcional a n e o plano (c) é paralelo ao dado.

Resposta

Os planos paralelos são os itens (b) e (c).

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