Os seguintes problemas se relacionam com a simetria do sinal:
c) Um sinal x(t) é conhecido por ser par e não exatamente zero em todos os tempos. Explique por que
\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \sin \left(\Omega_{0} t\right) d t=0

Passo 1

O enunciado diz que x(t) é uma função par (isto é, x(-t)=x(t)) e não é identicamente zero, e pede para explicar por que
\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr)\,dt = 0.
O conteúdo da matéria envolve as propriedades de simetria de funções e o resultado de que a integral de uma função ímpar, em um intervalo simétrico, é zero.

Passo 2

Lembramos que a função seno é ímpar, ou seja,
\sin\bigl(\Omega_{0}(-t)\bigr) = -\,\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr).
Como x(t) é par, vale também
x(-t)=x(t).

Passo 3

Considere o integrando f(t)=x(t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr). Para verificar sua paridade, calculemos
f(-t)=x(-t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}(-t)\bigr) = x(t)\,\bigl[-\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr)\bigr] = -\,x(t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr) = -\,f(t).
Logo, f(t) é uma função ímpar.

Passo 4

Sabemos que, se f(t) é ímpar, então
\int_{-A}^{A} f(t)\,dt = 0
para qualquer A>0. Fazendo A\to\infty, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt = 0.

Resposta

\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr)\,dt = 0.

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