Os seguintes problemas se relacionam com a simetria do sinal:
d) É verdade que
para qualquer sinal
que não seja exatamente zero em todos os tempos?
d) É verdade que
Passo 1
O enunciado pede para avaliar
para um sinal arbitrário
(não identicamente zero). O conteúdo é o uso de simetria de sinais (par, ímpar) para simplificar integrais sobre
.
Passo 2
Mostramos que
é um sinal par. Por definição, um sinal
é par se
Aqui, definimos
Então
logo
é par.
Passo 3
Observamos que
é um sinal ímpar. Por definição,
é ímpar se
De fato,
portanto
é ímpar.
Passo 4
Usamos a propriedade de que o produto de um sinal par por um ímpar é um sinal ímpar. Seja
Como
é par e
é ímpar, temos
logo
é ímpar.
Passo 5
Para qualquer função ímpar
cuja integral sobre
converja, vale
Aqui
é ímpar, então