Os seguintes problemas se relacionam com a simetria do sinal:
d) É verdade que
\int_{-\infty}^{\infty}[x(t)+x(-t)] \sin \left(\Omega_{0} t\right) d t
para qualquer sinal x(t) que não seja exatamente zero em todos os tempos?

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[x(t)+x(-t)\bigr]\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr)\,dt
para um sinal arbitrário x(t) (não identicamente zero). O conteúdo é o uso de simetria de sinais (par, ímpar) para simplificar integrais sobre (-\infty,\infty).

Passo 2

Mostramos que x(t)+x(-t) é um sinal par. Por definição, um sinal g(t) é par se
g(-t)=g(t).
Aqui, definimos
g(t)=x(t)+x(-t).
Então
g(-t)=x(-t)+x\bigl(-(-t)\bigr)=x(-t)+x(t)=g(t),
logo g(t) é par.

Passo 3

Observamos que \sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr) é um sinal ímpar. Por definição, h(t) é ímpar se
h(-t)=-h(t).
De fato,
\sin\bigl(\Omega_{0}(-t)\bigr)=-\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr),
portanto \sin(\Omega_{0}t) é ímpar.

Passo 4

Usamos a propriedade de que o produto de um sinal par por um ímpar é um sinal ímpar. Seja
f(t)=g(t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}t\bigr).
Como g(t) é par e \sin(\Omega_{0}t) é ímpar, temos
f(-t)=g(-t)\,\sin\bigl(\Omega_{0}(-t)\bigr)=g(t)\bigl(-\sin(\Omega_{0}t)\bigr)=-f(t),
logo f(t) é ímpar.

Passo 5

Para qualquer função ímpar f(t) cuja integral sobre (-\infty,\infty) converja, vale
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,dt=0.
Aqui f(t)=\bigl[x(t)+x(-t)\bigr]\sin(\Omega_{0}t) é ímpar, então
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[x(t)+x(-t)\bigr]\sin(\Omega_{0}t)\,dt=0.

Resposta

0.

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