Os seguintes problemas se relacionam com a simetria do sinal:
b) Usando a identidade de Euler x(t)=e^{j t}=\cos (t)+j \sin (t). Encontre as componentes par x e(t) e ímpar x o(t) de x(t).

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal \,x(t)=e^{j\,t}\, e pede para encontrar suas componentes par x_e(t) e ímpar x_o(t). O conteúdo que vamos usar é a decomposição de qualquer sinal em parte par e ímpar, cujas definições são
x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}, \quad x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.

Passo 2

Primeiro calculamos o sinal no tempo negativo:
x(-t)=e^{j\,(-t)}=e^{-j\,t}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da parte par:
x_e(t) =\frac{e^{j\,t}+e^{-j\,t}}{2}
e reconhecemos a identidade de Euler para o cosseno:
\cos(t)=\frac{e^{j\,t}+e^{-j\,t}}{2}.
Portanto
x_e(t)=\cos(t).

Passo 4

Em seguida aplicamos a fórmula da parte ímpar:
x_o(t) =\frac{e^{j\,t}-e^{-j\,t}}{2}
e usamos a identidade de Euler para o seno:
\sin(t)=\frac{e^{j\,t}-e^{-j\,t}}{2\,j} \;\Longrightarrow\; \frac{e^{j\,t}-e^{-j\,t}}{2}=j\,\sin(t).
Logo
x_o(t)=j\,\sin(t).

Resposta

A componente par é
x_e(t)=\cos(t),
e a componente ímpar é
x_o(t)=j\,\sin(t).

Exercícios relacionados