Nos seguintes problemas, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x /(1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 2y' + y = e^-x1 + x^2
O que vamos precisar: achar primeiro a solução geral da homogênea associada, escolher uma base de soluções fundamentais y1,y2, calcular o Wronskiano e depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 2y' + y = 0
e sua equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow; (r-1)^2 = 0;Longrightarrow; r=1 (raiz dupla)
Portanto uma base de soluções é
y1(x) = e^x, y2(x) = x e^x,
e a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(x) = det y1 & y2 y1' & y2' = det e^x & x e^x e^x & (1 + x)e^x = e^x cdot (1+x) e^x - e^x cdot x e^x = e^2x

Passo 4

Na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x), temos g(x)=e^-x/(1+x^2). As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x), u2'(x) = y1(x),g(x)W(x)
Substituindo,
u1'(x) = -x e^x;l(e^-x/(1+x^2)r)e^2x = -x1+x^2,e^-2x, u2'(x) = e^x;l(e^-x/(1+x^2)r)e^2x = 11+x^2,e^-2x
Então
u1(x) = -integral x,e^-2x1+x^2,dx, u2(x) = integral e^-2x1+x^2,dx

Passo 5

A solução particular fica
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x) = -e^xintegral x,e^-2x1+x^2,dx ;+; x e^xintegral e^-2x1+x^2,dx
Assim a solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 x e^x - e^xintegral x,e^-2x1+x^2,dx + x e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 x e^x - e^xintegral x,e^-2x1+x^2,dx + x e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

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