Considere
e
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(c) Verifique que
.
(d) Verifique que
e
.
(e) Conclua que
não é uma função potencial de
em
, mas é uma função potencial de
em Dom
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Verifique que
(d) Verifique que
(e) Conclua que
Passo 1
O enunciado define
e
,
e pede para mostrar que , que
, determinar os domínios de
e
e discutir se
é função potencial de
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais, definição de rotacional em
e argumentos sobre conectividade de domínios.
e
e pede para mostrar que
Passo 2
Calcular
. Seja
. Então
Analogamente,
Portanto
Passo 3
Calcular o rotacional em
:
Façamos cada termo:
Logo
ou seja
.
Passo 4
Determinar . A função
exige divisão por
, então é preciso
Não há outra restrição em
, pois para qualquer
o quociente
é válido. Portanto
Passo 5
Determinar . Cada componente de
tem denominador
, então precisamos
Logo
Passo 6
Concluir sobre função potencial. Vimos que
e que
na conexão de seus domínios. Entretanto, para que uma forma exata tenha potencial global é preciso que o domínio seja simplesmente conectado.
- não é simplesmente conectado (há “buraco” no origem), logo não existe uma única função
definida em todo esse domínio cuja derivada seja . - se divide em duas metades (planos
e ), cada uma simplesmente conectada, e em cada metade fornece um potencial para .
Portanto
não é potencial de
em todo , mas sim em cada componente de .
Resposta
(a) Calculamos as derivadas parciais de
e obtivemos exatamente
, logo
.
(b) O rotacional dá zero.
(c) .
(d) .
(e) Como não é simplesmente conectado, não é potencial de
em todo esse domínio, mas em cada componente de (plano
ou
).
(b) O rotacional
(c) .
(d) .
(e) Como não é simplesmente conectado,