Considere f(x, y)=arctg(yx) e F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
(a) Mostre que nabla f=F.
(b) Mostre que nabla times F=0.
(c) Verifique que Dom f=(x, y) in R^2 mid x neq 0.
(d) Verifique que Dom F=(x, y) in R^2 mid x neq 0 e y neq 0.
(e) Conclua que f não é uma função potencial de F em Dom F, mas é uma função potencial de F em Dom f.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=arctan!l(tfracyxr)
e
vec F(x,y)=l(-tfracyx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r),
e pede para mostrar que nabla f=vec F, que nablatimesvec F=vec0, determinar os domínios de f e vec F e discutir se f é função potencial de vec F. Vamos usar cálculo de derivadas parciais, definição de rotacional em R^2 e argumentos sobre conectividade de domínios.

Passo 2

Calcular nabla f. Seja u=y/x. Então
f(x,y)=arctan(u),
partial fpartial x =11+u^2,partial upartial x =11+(y/x)^2,l(-yx^2r) =-y/x^2(x^2+y^2)/x^2 =-yx^2+y^2
Analogamente,
partial fpartial y =11+(y/x)^2,partial partial yl(y/xr) =1/x(x^2+y^2)/x^2 =xx^2+y^2
Portanto
nabla f =l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial yr) =l(-tfracyx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r) =vec F

Passo 3

Calcular o rotacional em R^2:
nablatimesvec F =partialpartial xl(tfracxx^2+y^2r) -partialpartial yl(-tfracyx^2+y^2r)
Façamos cada termo:
partialpartial xl(tfracxr^2r) =r^2-2x^2r^4 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2, partialpartial yl(-tfracyr^2r) =-r^2-2y^2r^4 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Logo
nablatimesvec F =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =0,
ou seja nablatimesvec F=vec0.

Passo 4

Determinar . A função exige divisão por , então é preciso
Não há outra restrição em , pois para qualquer o quociente é válido. Portanto

Passo 5

Determinar . Cada componente de tem denominador , então precisamos
Logo

Passo 6

Concluir sobre função potencial. Vimos que e que na conexão de seus domínios. Entretanto, para que uma forma exata tenha potencial global é preciso que o domínio seja simplesmente conectado.
  • não é simplesmente conectado (há “buraco” no origem), logo não existe uma única função definida em todo esse domínio cuja derivada seja .
  • se divide em duas metades (planos e ), cada uma simplesmente conectada, e em cada metade fornece um potencial para .
Portanto não é potencial de em todo , mas sim em cada componente de .

Resposta

(a) Calculamos as derivadas parciais de e obtivemos exatamente , logo .
(b) O rotacional dá zero.
(c) .
(d) .
(e) Como não é simplesmente conectado, não é potencial de em todo esse domínio, mas em cada componente de (plano ou ).

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