Nos seguintes problemas, use a transformada de Laplace para resolver o PVI dado
y^prime prime-y^prime-6 y=e^t, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Resumo do enunciado: resolver o PVI y''-y'-6y=e^t, y(0)=1,;y'(0)=-1 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades da transformada de derivadas, linearidade, decomposição em frações parciais e tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando as fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),Ly'=sY(s)-y(0),Le^t=1s-1
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=-1 obtemos
(s^2Y(s)-s+1)-(sY(s)-1)-6Y(s)=1s-1

Passo 3

Isolar Y(s). Primeiro, simplificar o lado esquerdo:
Y(s)(s^2-s-6)+(-s+2)=1s-1
Somando s-2 ao lado direito e colocando no mesmo denominador:
1s-1+s-2=s^2-3s+3s-1,
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Y(s)=s^2-3s+3(s-1)(s^2-s-6)=s^2-3s+3(s-1)(s-3)(s+2)

Passo 4

Fazer decomposição em frações parciais:
s^2-3s+3(s-1)(s-3)(s+2)=As-1+Bs-3+Cs+2
Avaliar em s=1,3,-2
A=-tfrac16,;B=tfrac310,;C=tfrac1315.

Passo 5

Aplicar transformada inversa termo a termo. Como L^-11/(s-a)=e^at, obtemos
y(t)=-tfrac16e^t+tfrac310e^3t+tfrac1315e^-2t

Resposta

y(t)=-16e^t+310e^3t+1315e^-2t

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