Nos seguintes problemas, use a transformada de Laplace para resolver o PVI dado
y^prime prime-9 y=cos (2 t), y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y''-9y=cos(2t), y(0)=1,;y'(0)=0,
usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é aplicar a definição de L em derivadas, conhecer Lcos(2t)=s/(s^2+4) e usar frações parciais para inverter de volta.

Passo 2

Definimos Y(s)= Ly(t). Aplicando transformada nos dois lados:
Pela regra de derivada
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
L9y=9Y(s),
Lcos(2t)=ss^2+4
Juntando, fica
s^2Y(s)-s-9Y(s)=ss^2+4

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2-9)Y(s)=s+ss^2+4,
portanto
Y(s)=ss^2-9+s(s^2-9)(s^2+4)

Passo 4

Fazemos frações parciais em dfracs(s^2-9)(s^2+4). Escrevemos
s(s^2-9)(s^2+4)=A,ss^2-9+B,ss^2+4
Multiplicando por (s^2-9)(s^2+4) e comparando coeficientes:
1=A+B, 0,s^2+1=4A-9B
Daí A=1/13 e B=-1/13. Substituindo em Y(s)
Y(s)=1413ss^2-9-113ss^2+4

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa sabendo que
L^-1s/(s^2-9)=cosh(3t), L^-1s/(s^2+4)=cos(2t)
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y(t)=1413cosh(3t)-113cos(2t)

Resposta

y(t)=tfrac1413cosh(3t)-tfrac113cos(2t)

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