Esboce as superfícies abaixo, sendo
e
números reais fixados.:
.
Passo 1
Nesse exercício, estamos lidando com a superfície quadriculada dada por
. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas e esboço de suas seções planas.
Passo 2
Para classificar a superfície, olhamos para os sinais dos coeficientes de
,
e
. Como os termos de
e
são positivos e o de
é negativo, com a soma igual a 1, concluímos que se trata de um hiperbolóide de uma folha, de eixo alinhado ao eixo
.
Passo 3
Para entender a forma no plano horizontal
, fazemos
na equação e obtemos
que é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
e
. Esse é o “fatiamento” central.
Passo 4
Nos planos verticais, fixamos
ou
. Por exemplo, em
aparece
que é uma hipérbole. O mesmo aparece em
:
Passo 5
Considerando um plano
com
, substituímos na equação e obtemos
ou seja, elipses de semi-eixos
e
, que crescem conforme
aumenta.
Passo 6
Para grandes valores de
, a superfície se aproxima do cone definido por
o qual serve como superfície assintótica do hiperbolóide.
Passo 7
Reunindo tudo, o esboço mostra um conjunto de elipses horizontais que crescem para |z| maiores e hipérboles nos cortes verticais, formando o clássico formato de hiperbolóide de uma folha ao redor do eixo
.
Resposta
Hiperbolóide de uma folha centrado na origem, eixo principal em
, com cortes horizontais elípticos e cortes verticais hiperbólicos, aproximando-se do cone assintótico
.