Esboce as superfícies abaixo, sendo a, b e c números reais fixados.:
x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1.

Passo 1

Nesse exercício, estamos lidando com a superfície quadriculada dada por x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas e esboço de suas seções planas.

Passo 2

Para classificar a superfície, olhamos para os sinais dos coeficientes de x^2, y^2 e z^2. Como os termos de x^2 e y^2 são positivos e o de z^2 é negativo, com a soma igual a 1, concluímos que se trata de um hiperbolóide de uma folha, de eixo alinhado ao eixo z.

Passo 3

Para entender a forma no plano horizontal z=0, fazemos z=0 na equação e obtemos
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
que é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos a e b. Esse é o “fatiamento” central.

Passo 4

Nos planos verticais, fixamos x=0 ou y=0. Por exemplo, em x=0 aparece
y^2b^2 - z^2c^2 = 1
que é uma hipérbole. O mesmo aparece em y=0:
x^2a^2 - z^2c^2 = 1

Passo 5

Considerando um plano z=k com kneq0, substituímos na equação e obtemos
x^2a^2 + y^2b^2 = 1 + k^2c^2,
ou seja, elipses de semi-eixos araiz1 + k^2/c^2 e braiz1 + k^2/c^2, que crescem conforme |k| aumenta.

Passo 6

Para grandes valores de |z|, a superfície se aproxima do cone definido por
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 0,
o qual serve como superfície assintótica do hiperbolóide.

Passo 7

Reunindo tudo, o esboço mostra um conjunto de elipses horizontais que crescem para |z| maiores e hipérboles nos cortes verticais, formando o clássico formato de hiperbolóide de uma folha ao redor do eixo z.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha centrado na origem, eixo principal em z, com cortes horizontais elípticos e cortes verticais hiperbólicos, aproximando-se do cone assintótico x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=0.

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