As seguintes quatro matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 3 \\[6pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix}
de um sistema linear Ax=b com x\in\mathbb{R}^3 e b\in\mathbb{R}^2. Precisamos determinar o número de soluções nos dois casos:
(i) homogêneo b_{1}=\cdots=b_{2}=0 e
(ii) inhomogêneo (vetor b geral). Para isso, usaremos o conceito de posto de matriz e Teorema da Dimensão.]

Passo 2

Calculamos o posto de A. Note que as duas linhas (1,4,3) e (3,2,1)
não são múltiplos uma da outra, logo são linearmente independentes. Portanto
\rank A = 2.
Como A tem 3 colunas, o número de variáveis é n=3 e o número de equações efetivas (posto) é r=2.

Passo 3

No caso homogêneo Ax=0, o conjunto de soluções é o núcleo de A. Pelo Teorema da Dimensão,
\dim\ker A = n - \rank A = 3 - 2 = 1.
Isto significa que existem infinitas soluções, formando uma reta no \mathbb{R}^3 (além da trivial).

Passo 4

No caso geral Ax=b, o sistema é consistente se, e somente se, b pertence ao espaço coluna de A. Como
\dim(\mathrm{Col}\,A)=\rank A=2
e o espaço coluna está em \mathbb{R}^2, segue que \mathrm{Col}\,A=\mathbb{R}^2. Assim, para todo b\in\mathbb{R}^2 existe pelo menos uma solução. Além disso, como o núcleo de A continua de dimensão 1, cada solução geral é dada por uma família de infinitas soluções (um parâmetro livre).

Resposta

(i) No caso homogêneo, há infinitas soluções (núcleo de dimensão 1).
(ii) Para um lado direito geral, o sistema é sempre consistente (todo b\in\mathbb{R}^2 pertence à imagem de A) e apresenta infinitas soluções (família de dimensão 1).

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