(2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens
podem ser representadas pela função utilidade
. Esse consumidor possui renda
e se depara com os preços
. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
sujeito a:
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
e
, como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) (0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) (0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
Passo 1
O enunciado apresenta um consumidor com utilidade
e orçamento
.
O conteúdo que vamos usar é o método de Lagrange para achar as demandas ótimas , depois obter a utilidade indireta por substituição, e por fim calcular a utilidade marginal da renda e comparar com o multiplicador de Lagrange
.
O conteúdo que vamos usar é o método de Lagrange para achar as demandas ótimas
Passo 2
Montamos o Lagrangiano
e as condições de primeira ordem:
Das duas primeiras eqs. vem
Passo 3
Usamos
na restrição orçamentária:
Passo 4
A utilidade indireta
é obtida substituindo
em
:
Passo 5
Calculamos a utilidade marginal da renda pela derivada parcial de
em relação a
:
Pelas condições de primeira ordem, do ramo
com
vem
Logo a utilidade marginal da renda coincide com o multiplicador de Lagrange:
Resposta
(a)
(b)
(c) A utilidade marginal da renda é
, e o multiplicador de Lagrange também vale
, logo
.