(2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2} podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln x_{1}+\ln x_{2}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln x_{1}+\ln x_{2}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m .
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) (0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

Passo 1

O enunciado apresenta um consumidor com utilidade
u(x_{1},x_{2})=\ln x_{1}+\ln x_{2}
e orçamento p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\le m.
O conteúdo que vamos usar é o método de Lagrange para achar as demandas ótimas (x_{1}^{*},x_{2}^{*}), depois obter a utilidade indireta por substituição, e por fim calcular a utilidade marginal da renda e comparar com o multiplicador de Lagrange \lambda.

Passo 2

Montamos o Lagrangiano
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=\ln x_{1}+\ln x_{2}+\lambda\bigl(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\bigr)
e as condições de primeira ordem:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{x_{1}}-\lambda p_{1}=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=\frac{1}{x_{2}}-\lambda p_{2}=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}=0.
Das duas primeiras eqs. vem
\frac{1/x_{1}}{1/x_{2}} =\frac{\lambda p_{1}}{\lambda p_{2}} \;\Rightarrow\; \frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.

Passo 3

Usamos \,x_{2}=(p_{1}/p_{2})\,x_{1} na restrição orçamentária:
p_{1}x_{1}+p_{2}\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}\Bigr)=2\,p_{1}x_{1}=m \;\Rightarrow\; x_{1}^{*}=\frac{m}{2\,p_{1}}, \quad x_{2}^{*}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\;x_{1}^{*}=\frac{m}{2\,p_{2}}.

Passo 4

A utilidade indireta v(p_{1},p_{2},m) é obtida substituindo (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) em u:
v(p_{1},p_{2},m) =\ln\Bigl(\tfrac{m}{2p_{1}}\Bigr)+\ln\Bigl(\tfrac{m}{2p_{2}}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{m^{2}}{4\,p_{1}p_{2}}\Bigr).

Passo 5

Calculamos a utilidade marginal da renda pela derivada parcial de v em relação a m:
\frac{\partial v}{\partial m} =\frac{\partial}{\partial m}\ln\!\Bigl(\tfrac{m^{2}}{4\,p_{1}p_{2}}\Bigr) =\frac{2}{m}.
Pelas condições de primeira ordem, do ramo \tfrac{1}{x_{1}}=\lambda p_{1} com x_{1}^{*}=m/(2p_{1}) vem
\lambda =\frac{1}{p_{1}x_{1}^{*}} =\frac{1}{p_{1}\,(m/(2p_{1}))} =\frac{2}{m}.
Logo a utilidade marginal da renda coincide com o multiplicador de Lagrange:
\frac{\partial v}{\partial m}=\lambda.

Resposta

(a) \displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},m)=\frac{m}{2\,p_{1}},\quad x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},m)=\frac{m}{2\,p_{2}}.
(b) v(p_{1},p_{2},m) =\ln\!\Bigl(\frac{m^{2}}{4\,p_{1}p_{2}}\Bigr).
(c) A utilidade marginal da renda é \displaystyle \frac{\partial v}{\partial m}=\frac{2}{m}, e o multiplicador de Lagrange também vale \lambda=2/m, logo \partial v/\partial m=\lambda.

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