Em um sistema estrutural, três trechos de uma barra sofrem deformações ao longo dos eixos x, y e z, causadas por duas forças distintas.
As deformações são representadas por vetores coluna (matrizes 3 \times 1 ).
Queremos:
  • Somar as deformações vetoriais;
  • Calcular os esforços internos com uma matriz de rigidez;
  • Analisar a transposta da matriz K.
Dados do problema:
  • Deformações:
\Delta_{1}=\left[\begin{array}{c} 0.2 \\\\ -0.1 \\\\ 0.0 \end{array}\right] \quad \Delta_{2}=\left[\begin{array}{c} 0.1 \\\\ 0.0 \\\\ -0.05 \end{array}\right]
  • Matriz de Rigidez:
K=\left[\begin{array}{ccc} 1000 & 0 & 0 \\\\ 0 & 800 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1200 \end{array}\right]
Neste contexto:
Calcule K^{T}. Tire alguma conclusão sobre essa matriz após a última operação efetuada.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz de rigidez
K = \begin{pmatrix} 1000 & 0 & 0\\\\ 0 & 800 & 0\\\\ 0 & 0 & 1200 \end{pmatrix}
e pede para calcular sua transposta K^T e, após isso, tirar alguma conclusão sobre a forma de K.

Passo 2

Para obter a transposta de uma matriz, basta trocar linhas por colunas. Como K é diagonal, os elementos fora da diagonal já são zero, logo
K^T = \begin{pmatrix} 1000 & 0 & 0\\\\ 0 & 800 & 0\\\\ 0 & 0 & 1200 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como K^T = K, concluímos que K é uma matriz simétrica. Em problemas estruturais, isso indica que a rigidez é a mesma na troca de eixos, e garante propriedades como possuir autovalores reais e ser diagonalizável por uma matriz ortogonal.

Resposta

K^T = \begin{pmatrix} 1000 & 0 & 0\\\\ 0 & 800 & 0\\\\ 0 & 0 & 1200 \end{pmatrix},
ou seja, K^T = K; portanto, K é simétrica.

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