Um bloco de
, preso a uma mola, é puxado por uma distância de 20 cm e liberado. As oscilações subsequentes são medidas, e delas se obtém um período de
. Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale
?
Passo 1
O enunciado pede: “Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale
?”.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):\n
- massa do bloco:
.\n - amplitude (deslocamento inicial):
.\n - período das oscilações:
.\n - velocidade buscada:
.\n
Passo 2
Entendendo a relação entre posição e velocidade no movimento harmônico simples (vou explicar devagar, passo a passo).\n
Em movimento harmônico simples (MHS) a posição do bloco em função do tempo pode ser escrita como
Em movimento harmônico simples (MHS) a posição do bloco em função do tempo pode ser escrita como
onde\n
-
é a posição no instante ;\n -
é a amplitude máxima (aqui );\n -
é a frequência angular, que indica quão rápido ocorre a oscilação (unidade );\n -
é a fase inicial (depende de onde e como liberamos o bloco). \n
Como o bloco foi puxado atée liberado a partir do repouso, a fase inicial é se escolhermos no instante da liberação, e então . Não preciso do valor de para a relação que vou usar entre e .\n
Passo 3
Derivamos a posição para obter a velocidade instantânea:\n
Agora quero eliminar a dependência explícita do tempo e relacionar
diretamente com
. Use a identidade trigonométrica
. Como
, temos
. Então\n
Substituindo em
e elevando ao quadrado:\n
Simplificando obtemos a fórmula-chave (muito útil em provas):
Isto significa que, para uma dada velocidade
, a posição
satisfaz
Passo 4
Calcular
a partir do período
. A relação entre
e
é
Substituindo
:
Vou guardar esse valor para as contas seguintes.
Passo 5
Agora uso a fórmula obtida em \
Passo 6
Substituo
,
e
:\n
Calculo passo a passo:\n
Calculo passo a passo:\n
Agora
Portanto
Passo 7
Interpretação física e verificação rápida: a velocidade máxima no MHS vale
. Vamos checar se
é fisicamente possível:\n
Como
, a velocidade pedida é possível em dois pontos simétricos da trajetória, um à direita e outro à esquerda da posição de equilíbrio. Os valores encontrados
(ou
) fazem sentido.