Um bloco de 0,50 \mathrm{~kg}, preso a uma mola, é puxado por uma distância de 20 cm e liberado. As oscilações subsequentes são medidas, e delas se obtém um período de 0,80 \mathrm{~s}. Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale 1,0\\ \mathrm{m/s} ?”.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):\n
  • massa do bloco: m = 0,50\\ \mathrm{kg}.\n
  • amplitude (deslocamento inicial): A = 20\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m}.\n
  • período das oscilações: T = 0,80\\ \mathrm{s}.\n
  • velocidade buscada: v = 1,0\\ \mathrm{m/s}.\n

Passo 2

Entendendo a relação entre posição e velocidade no movimento harmônico simples (vou explicar devagar, passo a passo).\n
Em movimento harmônico simples (MHS) a posição do bloco em função do tempo pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t + \varphi),
onde\n
  • x(t) é a posição no instante t;\n
  • A é a amplitude máxima (aqui A=0,20\\ \mathrm{m});\n
  • \omega é a frequência angular, que indica quão rápido ocorre a oscilação (unidade \mathrm{rad/s});\n
  • \varphi é a fase inicial (depende de onde e como liberamos o bloco). \n
    Como o bloco foi puxado até A e liberado a partir do repouso, a fase inicial é \varphi = 0 se escolhermos t=0 no instante da liberação, e então x(t)=A\cos(\omega t). Não preciso do valor de \varphi para a relação que vou usar entre v e x.\n

Passo 3

Derivamos a posição para obter a velocidade instantânea:\n
v(t)=\frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \varphi).
Agora quero eliminar a dependência explícita do tempo e relacionar v diretamente com x. Use a identidade trigonométrica \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. Como x(t)=A\cos(\omega t + \varphi), temos \cos(\omega t + \varphi)=\dfrac{x}{A}. Então\n
\sin^2(\omega t + \varphi)=1-\cos^2(\omega t + \varphi)=1-\left(\frac{x}{A}\right)^2.
Substituindo em v(t) e elevando ao quadrado:\n
v^2 = A^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) = A^2\omega^2\left(1-\left(\frac{x}{A}\right)^2\right).
Simplificando obtemos a fórmula-chave (muito útil em provas):
v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2).
Isto significa que, para uma dada velocidade v, a posição x satisfaz
x^2 = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2}.

Passo 4

Calcular \omega a partir do período T. A relação entre \omega e T é
\omega = \frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=0,80\\ \mathrm{s}:
\omega = \frac{2\pi}{0,80} = 2,5\pi \approx 7,854\\ \mathrm{rad/s}.
Vou guardar esse valor para as contas seguintes.

Passo 5

Agora uso a fórmula obtida em \

Passo 6

x^2 = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2}.
Substituo A=0,20\\ \mathrm{m}, v=1,0\\ \mathrm{m/s} e \omega\approx 7,854\\ \mathrm{rad/s}:\n
Calculo passo a passo:\n
A^2 = (0,20)^2 = 0,040\\ \mathrm{m}^2.\n
\frac{v^2}{\omega^2} = \frac{(1,0)^2}{(7,854)^2} \approx \frac{1,0}{61,685} \approx 0,01621\\ \mathrm{m}^2.\n
Agora
x^2 = 0,040 - 0,01621 = 0,02379\\ \mathrm{m}^2.
Portanto
x = \pm\sqrt{0,02379} \approx \pm 0,1543\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação física e verificação rápida: a velocidade máxima no MHS vale v_{\max} = A\omega. Vamos checar se v=1,0\\ \mathrm{m/s} é fisicamente possível:\n
v_{\max} = A\omega = 0,20 \times 7,854 \approx 1,571\\ \mathrm{m/s}.
Como 1,0 < 1,571, a velocidade pedida é possível em dois pontos simétricos da trajetória, um à direita e outro à esquerda da posição de equilíbrio. Os valores encontrados x\approx \pm 0,154\\ \mathrm{m} (ou \pm 15,4\\ \mathrm{cm}) fazem sentido.

Resposta

x = +0,154\\ \mathrm{m}\n
x = -0,154\\ \mathrm{m}

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