Quais das seguintes relações são verdadeiras?
(A cup B) cap C=barA cap barB cap C

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber se esta igualdade de conjuntos é sempre válida:
(A cup B) cap C ;=;barA cap barB cap C
Este exercício é de Teoria de Conjuntos, mais especificamente das operações união (∪), interseção (∩) e complemento (barra em cima) e das chamadas Leis de De Morgan. Para resolver vamos precisar:
  1. Entender o que é o complemento de uma união.
  2. Saber que podemos reorganizar interseções (associatividade/ comutatividade).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de De Morgan para união de conjuntos. Ela diz que:
A cup B ;=; barA ,cap, barB
Em palavras: o complemento da união de A com B é igual à interseção dos complementos de A e de B. Isso faz sentido se você pensar: um elemento não está em só se ele não está em e também não está em .

Passo 3

Agora, aplicamos essa lei direto na parte (A cup B) cap C ;=; (barA cap barB) cap C do lado esquerdo da igualdade. Então:
Até aqui, só trocamos por .

Passo 4

Por fim, usamos a propriedade de associatividade (e comutatividade, se quiser) da interseção, que diz que tanto faz agrupar os conjuntos em qual ordem:
(barA cap barB) cap C ;=; barA cap (barB cap C) ;=; barA cap barB cap C
E isso é exatamente o que aparece no lado direito .

Resposta

A igualdade
(A cup B) cap C ;=;barA cap barB cap C
é sempre verdadeira, pois segue diretamente da Lei de De Morgan e das propriedades de associatividade/comutatividade da interseção.

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