As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de eq lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para 0 o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propri especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} x & 6 & 2\\\\ 3 & 4 & y \end{pmatrix}
e pergunta para quais valores de x e y o sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} não tem solução ou tem infinitas soluções, dependendo de \mathbf{b}. Isso acontece exatamente quando \rank(A)<\min\{2,3\}=2, ou seja, quando \rank(A)=1.

Passo 2

Para ter \rank(A)=1, as duas linhas de A devem ser proporcionais. Logo existe \lambda tal que
(x,\,6,\,2)=\lambda\,(3,\,4,\,y).
Isso gera o sistema em \lambda:
\begin{cases} x = 3\lambda,\\\\ 6 = 4\lambda,\\\\ 2 = y\,\lambda. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação, \lambda = 6/4 = 3/2. Substituindo nas outras:
x = 3\cdot\frac{3}{2} = \frac{9}{2}, \qquad 2 = y\cdot\frac{3}{2} \;\Longrightarrow\; y = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}.

Resposta

As únicas valores que garantem \rank(A)=1 (logo 0 ou infinitas soluções conforme \mathbf{b}) são
x = \frac{9}{2}, \quad y = \frac{4}{3}.

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