As seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta e deixe claro o teste utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e aplicar o Teste do Termo Geral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série,
, não for zero quando
tende ao infinito, então a série diverge. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão para encontrar o limite. Observando os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador (que são
):
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite. Quando
tende ao infinito,
,
e
tendem a zero:
Passo 5
Então, o limite do termo geral é 1. Pelo Teste do Termo Geral, se
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste do Termo Geral, já que o limite do termo geral é diferente de zero.