As seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta e deixe claro o teste utilizado.
sumn=2^infty n^2-5 nn^2+4 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=2^infty n^2-5 nn^2+4 n+2 converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e aplicar o Teste do Termo Geral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, an, não for zero quando n tende ao infinito, então a série diverge. Ou seja, precisamos calcular:
limn to infty n^2-5 nn^2+4 n+2

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão para encontrar o limite. Observando os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador (que são n^2):
limn to infty n^2-5 nn^2+4 n+2 = limn to infty n^2(1 - 5n)n^2(1 + 4n + 2n^2)
Cancelando n^2 no numerador e denominador:
= limn to infty 1 - 5n1 + 4n + 2n^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite. Quando n tende ao infinito, 5n, 4n e 2n^2 tendem a zero:
= 1 - 01 + 0 + 0 = 11 = 1

Passo 5

Então, o limite do termo geral é 1. Pelo Teste do Termo Geral, se limn to infty an neq 0, a série diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty n^2-5 nn^2+4 n+2 diverge pelo Teste do Termo Geral, já que o limite do termo geral é diferente de zero.

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