Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}
(c) \sum_{n=1}^{x} \frac{(-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar para quais das séries abaixo o Teste da Razão é inconclusivo (ou seja, o limite do quociente dá 1, então o teste não decide). As séries dadas são:
(a) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
(b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}
(c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{\,n-1}}{\sqrt{n}}
(d) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}
Informações relevantes do enunciado: cada termo geral a_n está explícito em cada item acima. O objetivo é calcular, para cada série, o valor
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
e verificar se L<1 (convergência absoluta pelo Teste da Razão), L>1 (diverge pelo Teste da Razão) ou L=1 (inconclusivo).

Passo 2

O Teste da Razão (explicando devagar): dado uma série \sum a_n (com a_n possivelmente complexos, mas aqui reais), define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, então a série converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, então a série diverge (os termos não vão a zero rápido o bastante).
  • Se L=1, o teste não dá informação (inconclusivo): pode convergir ou divergir, o teste não decide.
Vou aplicar isso item por item, calculando o limite do quociente de forma explícita e simples, explicando cada passo.

Passo 3

Item (a): \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{3}}.
Calcule o quociente:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1/(n+1)^{3}}{1/n^{3}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)^{3}=\left(1\right)^{3}=1.
Conclusão para (a): o limite L=1, portanto o Teste da Razão é inconclusivo aqui (não decide).

Passo 4

Item (b): \displaystyle a_n=\frac{n}{2^{n}}.
Calcule o quociente:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)/2^{\,n+1}}{n/2^{\,n}}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}.
Agora o limite:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}.
Como L=\tfrac{1}{2}<1, o Teste da Razão conclui que a série converge absolutamente (logo converge). Portanto o teste aqui é concludente (decide convergência).

Passo 5

Item (c): \displaystyle a_n=\frac{(-3)^{\,n-1}}{\sqrt{n}}.
Como o Teste da Razão usa o valor absoluto, primeiro pego a magnitude:
|a_n|=\frac{3^{\,n-1}}{\sqrt{n}}.
Calcule o quociente das magnitudes:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{3^{\,n}/\sqrt{n+1}}{3^{\,n-1}/\sqrt{n}}=3\cdot\sqrt{\frac{n}{n+1}}.
Agora o limite:
\lim_{n\to\infty}3\cdot\sqrt{\frac{n}{n+1}}=3\cdot 1=3.
Como L=3>1, o Teste da Razão conclui que a série diverge. Portanto o teste é concludente neste item (decide divergência).

Passo 6

Item (d): \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}.
Calcule o quociente:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\sqrt{n+1}}{1+(n+1)^{2}}\cdot\frac{1+n^{2}}{\sqrt{n}} =\sqrt{\frac{n+1}{n}}\cdot\frac{1+n^{2}}{1+(n+1)^{2}}.
Analisamos as duas partes quando n\to\infty.
  1. \displaystyle \sqrt{\frac{n+1}{n}}=\sqrt{1+\frac{1}{n}}\to 1.
  2. Para a segunda fração, divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{1+n^{2}}{1+(n+1)^{2}} =\frac{\dfrac{1}{n^{2}}+1}{\dfrac{1}{n^{2}}+1+\dfrac{2}{n}} \to\frac{1}{1}=1.
Multiplicando os limites das duas partes dá
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\cdot 1=1.
Conclusão para (d): o limite L=1, então o Teste da Razão é inconclusivo aqui.

Passo 7

Resumo do que cada item deu pelo Teste da Razão:
  • (a) L=1 → inconclusivo.
  • (b) L=\tfrac{1}{2}<1 → concludente (converge).
  • (c) L=3>1 → concludente (diverge).
  • (d) L=1 → inconclusivo.
Fica então claro que o Teste da Razão não dá resposta definida nos itens (a) e (d).

Resposta

(a)
(d)

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