Situação 1 ( 2,0 pontos): Use a Regra da Cadeia.
(1,0 ponto) Sejam z=x^{2} y ; x=e^{t^{2}} e y=2 t+1. Calcule \frac{d z}{d t}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados:
    • z = x^{2}y.
    • x = e^{t^{2}}.
    • y = 2t+1.
  • Pedido:
    • Calcular \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Como x e y dependem de t, a expressão z=x^{2}y é um produto de duas funções de t: x^{2}(t) e y(t). Para derivar um produto usamos a regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Aqui podemos tomar u(t)=x^{2}(t) e v(t)=y(t). Assim
\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)\cdot y + x^{2}\cdot\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Para calcular \dfrac{d}{dt}\big(x^{2}\big) aplicamos a regra da cadeia: se u(x)=x^{2} e x=x(t), então
\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Como \dfrac{du}{dx}=2x, obtemos
\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)=2x\cdot\frac{dx}{dt}.
Portanto a fórmula do Passo 2 fica
\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}\,y + x^{2}\frac{dy}{dt}.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{dx}{dt} sabendo que x=e^{t^{2}}. Usando que a derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u' (regra da cadeia com u=t^{2}), temos
\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}\big(e^{t^{2}}\big)=e^{t^{2}}\cdot\frac{d}{dt}(t^{2})=e^{t^{2}}\cdot 2t = 2t\,e^{t^{2}}.

Passo 5

Calculamos \dfrac{dy}{dt} sabendo que y=2t+1. Como é uma função linear,
\frac{dy}{dt}=2.

Passo 6

Substituímos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} na fórmula do Passo 3:
\frac{dz}{dt}=2x\cdot(2t\,e^{t^{2}})\cdot y + x^{2}\cdot 2.
Agora substituímos x=e^{t^{2}} e y=2t+1:
\frac{dz}{dt}=2e^{t^{2}}\cdot(2t\,e^{t^{2}})\cdot(2t+1) + (e^{t^{2}})^{2}\cdot 2.

Passo 7

Simplificamos os fatores. Primeiro 2e^{t^{2}}\cdot 2t\,e^{t^{2}} = 4t\,e^{2t^{2}} e (e^{t^{2}})^{2}=e^{2t^{2}}. Assim
\frac{dz}{dt}=4t\,e^{2t^{2}}(2t+1) + 2e^{2t^{2}}.
Fatorando e^{2t^{2}}:
\frac{dz}{dt}=e^{2t^{2}}\big(4t(2t+1)+2\big).
Expandindo 4t(2t+1)=8t^{2}+4t e somando +2 obtemos 8t^{2}+4t+2. Portanto
\frac{dz}{dt}=e^{2t^{2}}(8t^{2}+4t+2).

Passo 8

Podemos ainda fatorar 2 para deixar a resposta um pouco mais compacta:
\frac{dz}{dt}=2e^{2t^{2}}(4t^{2}+2t+1).

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=e^{2t^{2}}(8t^{2}+4t+2)

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