Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotaçāo em torno do eixo
da regiāo limitada pelas curvas dadas. Esboce a regiāo e uma casca típica.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região do plano limitada pelas curvas
e
Também pede para esboçar a região e uma casca típica. Informações fornecidas:
- Duas curvas do tipo parábola dadas por suas expressões em
. - O eixo de rotação é o eixo
. - Não foi dada uma figura; devemos encontrar os pontos de interseção para determinar o intervalo em
que define a região.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das duas parábolas: igualamos as expressões de
.
Vamos resolver algebricamente:
Dividindo por
:
Essa quadrática fatoriza:
Logo os pontos de interseção em
são
Esses serão os limites de integração quando usarmos retângulos verticais (caschas).
Passo 3
Determinar qual parábola está acima (maior
) entre
e
. Avaliamos as duas funções em um ponto interior, por exemplo
:
Como
, a curva
é a superior, e
é a inferior no intervalo
. A altura da região em um dado
é a diferença
Passo 4
Calcular explicitamente a altura (diferença):
Observe que essa expressão é positiva para
entre
e
(pode verificar substituindo
:
), o que faz sentido porque a curva superior está acima da inferior nesse intervalo.
Passo 5
Explicar o método das cascas cilíndricas (didático, com exemplo): imagine tomar um retângulo vertical de largura infinitesimal
localizado em
com altura
. Ao girar esse retângulo em torno do eixo
, ele gera uma casca cilíndrica de raio aproximadamente igual à distância do retângulo ao eixo
, que é
. Como estamos em
,
é positivo, então o raio é simplesmente
. A área lateral aproximada da casca é
Multiplicando pela espessura
obtemos o volume infinitesimal da casca:
Para o volume total, somamos todas as cascas de
até
, ou seja, integramos.
Passo 6
Montar e simplificar a integral do volume usando a expressão da altura:
Fatoramos o
para fora:
Agora integramos termo a termo. Uma primitiva de
é
, de
é
e de
é
. Logo uma primitiva do integrando é
Portanto
Passo 7
Avaliar
e
sem calculadora, passo a passo:
Calcule :
Calcule
Como
,
,
, temos
Agora
:
Como
,
,
, obtemos
Logo a diferença é
Multiplicando por
:
Passo 8
Esboço da região e da casca típica (descrição para você desenhar na prova):
- Desenhe o eixo
e . - As duas parábolas se interceptam em
e . Entre esses valores, a parábola com coeficiente em (a que abre para baixo, ) está acima; a que abre para cima ( ) está abaixo. - A região limitada é a “banda” entre as duas curvas para
. - Uma casca típica é o retângulo vertical em uma abscissa
com altura e largura . Ao girar esse retângulo em torno do eixo , obtém-se uma casca cilíndrica de raio , espessura e altura igual à diferença entre as duas parábolas. Indique no desenho o raio , a altura e a circunferência .