Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotaçāo em torno do eixo y da regiāo limitada pelas curvas dadas. Esboce a regiāo e uma casca típica.
y=x^{2}-6 x+10, y=-x^{2}+6 x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano limitada pelas curvas
y = x^{2} - 6x + 10
e
y = -x^{2} + 6x - 6.
Também pede para esboçar a região e uma casca típica. Informações fornecidas:
  • Duas curvas do tipo parábola dadas por suas expressões em x.
  • O eixo de rotação é o eixo y.
  • Não foi dada uma figura; devemos encontrar os pontos de interseção para determinar o intervalo em x que define a região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas parábolas: igualamos as expressões de y.
x^{2} - 6x + 10 = -x^{2} + 6x - 6.
Vamos resolver algebricamente:
x^{2} - 6x + 10 + x^{2} - 6x + 6 = 0
2x^{2} - 12x + 16 = 0
Dividindo por 2:
x^{2} - 6x + 8 = 0
Essa quadrática fatoriza:
(x-2)(x-4)=0.
Logo os pontos de interseção em x são
x=2 \quad\text{e}\quad x=4.
Esses serão os limites de integração quando usarmos retângulos verticais (caschas).

Passo 3

Determinar qual parábola está acima (maior y) entre x=2 e x=4. Avaliamos as duas funções em um ponto interior, por exemplo x=3:
y_{1}(3)=3^{2}-6\cdot3+10=9-18+10=1,
y_{2}(3)=-3^{2}+6\cdot3-6=-9+18-6=3.
Como 3>1, a curva
y_{\text{top}} = -x^{2}+6x-6
é a superior, e
y_{\text{bot}} = x^{2}-6x+10
é a inferior no intervalo [2,4]. A altura da região em um dado x é a diferença
\text{altura}(x)=y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} = (-x^{2}+6x-6) - (x^{2}-6x+10).

Passo 4

Calcular explicitamente a altura (diferença):
\text{altura}(x) = -x^{2}+6x-6 - x^{2} +6x -10 = -2x^{2} +12x -16.
Observe que essa expressão é positiva para x entre 2 e 4 (pode verificar substituindo x=3: -2\cdot9+36-16= -18+36-16=2>0), o que faz sentido porque a curva superior está acima da inferior nesse intervalo.

Passo 5

Explicar o método das cascas cilíndricas (didático, com exemplo): imagine tomar um retângulo vertical de largura infinitesimal \,dx localizado em x com altura \text{altura}(x). Ao girar esse retângulo em torno do eixo y, ele gera uma casca cilíndrica de raio aproximadamente igual à distância do retângulo ao eixo y, que é |x|. Como estamos em [2,4], x é positivo, então o raio é simplesmente x. A área lateral aproximada da casca é
\text{área lateral} \approx 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) = 2\pi x \cdot \text{altura}(x).á
Multiplicando pela espessura \,dx obtemos o volume infinitesimal da casca:
dV = 2\pi x \cdot \text{altura}(x)\,dx.
Para o volume total, somamos todas as cascas de x=2 até x=4, ou seja, integramos.

Passo 6

Montar e simplificar a integral do volume usando a expressão da altura:
V = \int_{x=2}^{x=4} 2\pi x\bigl(-2x^{2}+12x-16\bigr)\,dx.
Fatoramos o 2\pi para fora:
V = 2\pi \int_{2}^{4} \bigl(-2x^{3}+12x^{2}-16x\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Uma primitiva de -2x^{3} é -\tfrac{1}{2}x^{4}, de 12x^{2} é 4x^{3} e de -16x é -8x^{2}. Logo uma primitiva do integrando é
F(x) = -\tfrac{1}{2}x^{4} + 4x^{3} - 8x^{2}.
Portanto
V = 2\pi\bigl[F(4)-F(2)\bigr].

Passo 7

Avaliar F(4) e F(2) sem calculadora, passo a passo:
Calcule F(4):
F(4) = -\tfrac{1}{2}\cdot 4^{4} + 4\cdot 4^{3} - 8\cdot 4^{2}.
Como 4^{2}=16, 4^{3}=64, 4^{4}=256, temos
F(4) = -\tfrac{1}{2}\cdot 256 + 4\cdot 64 - 8\cdot 16 = -128 + 256 - 128 = 0.
Agora F(2):
F(2) = -\tfrac{1}{2}\cdot 2^{4} + 4\cdot 2^{3} - 8\cdot 2^{2}.
Como 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16, obtemos
F(2) = -\tfrac{1}{2}\cdot 16 + 4\cdot 8 - 8\cdot 4 = -8 + 32 - 32 = -8.
Logo a diferença é
F(4)-F(2) = 0 - (-8) = 8.
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot 8 = 16\pi.

Passo 8

Esboço da região e da casca típica (descrição para você desenhar na prova):
  • Desenhe o eixo x e y.
  • As duas parábolas se interceptam em x=2 e x=4. Entre esses valores, a parábola com coeficiente -1 em x^{2} (a que abre para baixo, y=-x^{2}+6x-6) está acima; a que abre para cima ( y=x^{2}-6x+10) está abaixo.
  • A região limitada é a “banda” entre as duas curvas para 2\le x\le4.
  • Uma casca típica é o retângulo vertical em uma abscissa x com altura \text{altura}(x)=-2x^{2}+12x-16 e largura dx. Ao girar esse retângulo em torno do eixo y, obtém-se uma casca cilíndrica de raio x, espessura dx e altura igual à diferença entre as duas parábolas. Indique no desenho o raio x, a altura e a circunferência 2\pi x.

Resposta

V=16\pi

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