Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Passo 1
Na questão temos a EDO
. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea. Vamos usar o princípio da superposição e a técnica de variação de parâmetros.
Passo 2
Para a parte homogênea, resolvemos
. A equação característica é
, logo
. A solução homogênea é
.
Passo 3
Pelo princípio da superposição, escrevemos a solução particular como soma de duas:
, com as partes devida a
e
. Usamos variação de parâmetros, cuja fórmula geral, com as soluções fundamentais
,
e Wronskiano
, fica:
Passo 4
Para
, calculamos
Então
Os termos
e
podem entrar na solução homogênea, restando
Passo 5
Para
, usamos
e achamos
resultando
Passo 6
Combinando tudo, a solução geral é
Resposta
y(x)=C_{1}e{-x}+C_{2}e{-2x}+(e{-x}+e{-2x})\ln(1+e{x})-e{-2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)