Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
y^prime prime+3 y^prime+2 y=1 /(1+e^x)+sen e^x

Passo 1

Na questão temos a EDO y''+3y'+2y=11+e^x+sin(e^x). O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea. Vamos usar o princípio da superposição e a técnica de variação de parâmetros.

Passo 2

Para a parte homogênea, resolvemos y''+3y'+2y=0. A equação característica é r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0, logo r=-1,-2. A solução homogênea é yh=C1e^-x+C2e^-2x.

Passo 3

Pelo princípio da superposição, escrevemos a solução particular como soma de duas: yp=yp1+yp2, com as partes devida a f1(x)=11+e^x e f2(x)=sin(e^x). Usamos variação de parâmetros, cuja fórmula geral, com as soluções fundamentais y1=e^-x, y2=e^-2x e Wronskiano W=-e^-3x, fica:
yp = e^-xintegral e^x f(x)dx ,-, e^-2xintegral e^2x f(x)dx

Passo 4

Para f1(x)=11+e^x, calculamos
integral e^x1+e^xdx = ln(1+e^x),
integral e^2x1+e^xdx = e^x+1 - ln(1+e^x)
Então
yp1=e^-xln(1+e^x) - e^-2x(e^x+1 - ln(1+e^x))
Os termos -e^-x e -e^-2x podem entrar na solução homogênea, restando
yp1=(e^-x+e^-2x)ln(1+e^x)

Passo 5

Para f2(x)=sin(e^x), usamos u=e^x e achamos
integral e^xsin(e^x)dx = -cos(e^x),
integral e^2xsin(e^x)dx = integral usin(u)du = -ucos(u) + sin(u),
resultando
yp2 = e^-x(-cos(e^x)) - e^-2x(-e^xcos(e^x)+ sin(e^x)) = -e^-2xsin(e^x)

Passo 6

Combinando tudo, a solução geral é
y(x) = C1e^-x+C2e^-2x + (e^-x+e^-2x)ln(1+e^x) - e^-2xsin(e^x)

Resposta

y(x)=C_{1}e{-x}+C_{2}e{-2x}+(e{-x}+e{-2x})\ln(1+e{x})-e{-2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)

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