Os seguintes sistemas lineares admitem uma única solucão; determine essa s olucão aplicando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=7 \\\\ 2 x-3 y-22=4 \\\\ 3 x+4 y-z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 7,\\\\ 2x - 3y - 2z = 4,\\\\ 3x + 4y - z = -1, \end{cases}
e pede a solução única usando a Regra de Cramer. Vamos precisar montar a matriz de coeficientes A, calcular seu determinante D e os determinantes D_x, D_y e D_z obtidos ao substituir a coluna dos coeficientes de x, y e z pelo vetor de termos independentes.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -3 & -2\\\\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix}.
Usando desenvolvimento pela primeira linha,
D = 1\cdot\bigl((-3)(-1)-(-2)\cdot4\bigr) -1\cdot\bigl(2\cdot(-1)-(-2)\cdot3\bigr) +1\cdot\bigl(2\cdot4-(-3)\cdot3\bigr).
Agora
(-3)(-1)-(-2)\cdot4 = 3 -(-8)=11,
2\cdot(-1)-(-2)\cdot3 = -2 -(-6)=4,
2\cdot4-(-3)\cdot3 = 8 -(-9)=17.
Logo
D = 1\cdot11 - 1\cdot4 + 1\cdot17 = 11 - 4 + 17 = 24.

Passo 3

Substituímos a coluna de x pelos termos independentes (7,4,-1) para obter D_x:
D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 1\\\\ 4 & -3 & -2\\\\ -1 & 4 & -1 \end{vmatrix} =7\cdot\bigl((-3)(-1)-(-2)\cdot4\bigr) -1\cdot\bigl(4\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1)\bigr) +1\cdot\bigl(4\cdot4-(-3)\cdot(-1)\bigr).
Calculemos:
(-3)(-1)-(-2)\cdot4 = 3 -(-8)=11,
4\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1) = -4 -2 = -6,
4\cdot4-(-3)\cdot(-1) = 16 -3 = 13.
Assim
D_x = 7\cdot11 -1\cdot(-6) +1\cdot13 = 77 +6 +13 = 96.

Passo 4

Para D_y, substituímos a coluna de y:
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 7 & 1\\\\ 2 & 4 & -2\\\\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot\bigl(4\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1)\bigr) -7\cdot\bigl(2\cdot(-1)-(-2)\cdot3\bigr) +1\cdot\bigl(2\cdot(-1)-4\cdot3\bigr).
Temos
4\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1) = -4 -2 = -6,
2\cdot(-1)-(-2)\cdot3 = -2 -(-6)=4,
2\cdot(-1)-4\cdot3 = -2 -12 = -14.
Logo
D_y = 1\cdot(-6) -7\cdot4 +1\cdot(-14) = -6 -28 -14 = -48.

Passo 5

Para D_z, substituímos a coluna de z:
D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 7\\\\ 2 & -3 & 4\\\\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot\bigl((-3)(-1)-4\cdot4\bigr) -1\cdot\bigl(2\cdot(-1)-4\cdot3\bigr) +7\cdot\bigl(2\cdot4-(-3)\cdot3\bigr).
Calculando
(-3)(-1)-4\cdot4 = 3 -16 = -13,
2\cdot(-1)-4\cdot3 = -2 -12 = -14,
2\cdot4-(-3)\cdot3 = 8 -(-9)=17.
Logo
D_z = 1\cdot(-13) -1\cdot(-14) +7\cdot17 = -13 +14 +119 = 120.

Passo 6

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{96}{24} = 4,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-48}{24} = -2,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{120}{24} = 5.

Resposta

x = 4,\;y = -2,\;z = 5.

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