Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot) ? Justifique sua resposta.
W=f in F(R) ; f(0)=f(1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = ,f in F(R) mid f(0)=f(1)
é subespaço de F(R). Aqui F(R) é o espaço vetorial real de todas as funções fcolonRtoR com operações ponto a ponto dadas por
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (alpha f)(x)=alpha,f(x)
Para mostrar que W é subespaço, usamos o critério:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que a função zero pertence a W. Defina
f0(x)=0para todo xinR
Então
f0(0)=0=f0(1),
logo f0in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,gin W. Então f(0)=f(1) e g(0)=g(1). Pela definição de soma ponto a ponto,
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=(f+g)(1)
Portanto f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja fin W e alphainR. Como f(0)=f(1), temos
(alpha f)(0)=alpha,f(0)=alpha,f(1)=(alpha f)(1)
Logo alpha fin W.

Passo 5

Como W contém o zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de F(R).

Resposta

W é subespaço vetorial de F(R).

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