Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço de
. Aqui
é o espaço vetorial real de todas as funções
com operações ponto a ponto dadas por
Para mostrar que
é subespaço, usamos o critério:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que a função zero pertence a
. Defina
Então
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então
e
. Pela definição de soma ponto a ponto,
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Como
, temos
Logo
.
Passo 5
Como
contém o zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.