Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
(todas as funções de
em
) e o subconjunto
Para decidir se
é subespaço vetorial, usamos o critério padrão:
-
deve conter o vetor zero de . -
deve ser fechado sob soma de funções. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a inclusão do vetor zero. Seja
dada por
Então
mas a condição de
exige
o que é impossível. Portanto
. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, concluímos já aqui que
não é subespaço.
Passo 3
Para reforçar, examinamos a fechadura por escalar. Se
, então
. Para
,
e para
pertencer a
precisaríamos
Ou seja, não há fechadura para todo escalar
.