Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot) ? Justifique sua resposta.
W=f in F(R) ; f(-3)=2+f(1).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real V = F(R) (todas as funções de R em R) e o subconjunto
W = ,fin V mid f(-3) = 2 + f(1)
Para decidir se W é subespaço vetorial, usamos o critério padrão:
  1. W deve conter o vetor zero de V.
  2. W deve ser fechado sob soma de funções.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a inclusão do vetor zero. Seja f0in V dada por
f0(x)=0para todo xinR
Então
f0(-3)=0, f0(1)=0,
mas a condição de W exige
f0(-3)=2+f0(1)Longrightarrow 0 = 2 + 0 = 2,
o que é impossível. Portanto f0notin W. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, concluímos já aqui que W não é subespaço.

Passo 3

Para reforçar, examinamos a fechadura por escalar. Se fin W, então f(-3)=2+f(1). Para alphainR,
(alpha f)(-3)=alpha,f(-3)=alphal(2+f(1)r)=2alpha + alpha,f(1),
e para alpha f pertencer a W precisaríamos
2alpha + alpha,f(1) ;=; 2 + alpha,f(1) Longrightarrow 2alpha = 2 Longrightarrow alpha = 1
Ou seja, não há fechadura para todo escalar alphaneq1.

Resposta

W não é subespaço vetorial de F(R).

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