Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot) ? Justifique sua resposta.
W=f R R ; f(x)>0, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real F(R) de todas as funções fcolonRtoR com adição e multiplicação escalar ponto a ponto, e define
W = ,finF(R) mid f(x)>0 para todo xinR
Vamos usar os critérios para um subconjunto ser subespaço vetorial:
  1. conter o vetor zero,
  2. ser fechado sob soma,
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se W contém o vetor zero. O vetor zero em F(R) é a função 0 dada por
0(x)=0forall xinR
Mas 0(x)=0 não satisfaz 0(x)>0. Logo 0notin W, falhando imediatamente o primeiro critério.

Passo 3

Mesmo sem precisar, podemos checar fechamento sob soma para ilustrar. Se f,gin W, então f(x)>0 e g(x)>0 implicam
(f+g)(x)=f(x)+g(x)>0+0=0,
então f+gin W. Assim a soma está fechada.

Passo 4

Agora o fechamento sob multiplicação escalar. Se fin W e tomamos um escalar lambda<0 (ou lambda=0), então
(lambda f)(x)=lambdal(f(x)r)<= 0,
logo lambda fnotin W. Portanto falha o fechamento escalar.

Passo 5

Como W não contém a função zero e não é fechado sob produto escalar, concluímos que W não é subespaço vetorial de F(R).

Resposta

W não é subespaço vetorial, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar (escalres nulos ou negativos levam fora de W).

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