Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
de todas as funções
com adição e multiplicação escalar ponto a ponto, e define
Vamos usar os critérios para um subconjunto ser subespaço vetorial:
- conter o vetor zero,
- ser fechado sob soma,
- ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é a função
dada por
Mas
não satisfaz
. Logo
, falhando imediatamente o primeiro critério.
Passo 3
Mesmo sem precisar, podemos checar fechamento sob soma para ilustrar. Se
, então
e
implicam
então
. Assim a soma está fechada.
Passo 4
Agora o fechamento sob multiplicação escalar. Se
e tomamos um escalar
(ou
), então
logo
. Portanto falha o fechamento escalar.
Passo 5
Como
não contém a função zero e não é fechado sob produto escalar, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.