O traço de uma matriz quadrada é a soma de seus elementos da diagonal principal. Seja
o subconjunto de
de todas as matrizes de ‘traço zero’ . S é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma afirmação clara:
- Temos o espaço vetorial das matrizes
, denotado por . - A função traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Para uma matriz
o traço é
.
- Define-se o subconjunto
formado por todas as matrizes de traço zero:
A pergunta implícita é: confirmar se
é um subespaço vetorial de
(ou seja, provar que sim ou não).]
Passo 2
O que é preciso provar para mostrar que
é um subespaço vetorial?
Vou usar a definição prática e direta: um subconjunto não vazio de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se ele é fechado para soma e para multiplicação por escalares. Em linguagem matemática, devo verificar três propriedades:
Vou usar a definição prática e direta: um subconjunto não vazio
-
não é vazio (normalmente mostrado com a matriz zero). - Se
então (fechamento para adição). - Se
e é escalar então (fechamento para multiplicação por escalar).
Vou provar cada item de forma clara e passo a passo.
Passo 3
Mostrando que
não é vazio: pegar a matriz zero.
A matriz zero em é
A matriz zero em
O traço dessa matriz é
Como
, a matriz zero pertence a
. Portanto
não é vazio. (Ter o zero em
já é uma boa notícia — subespaços devem conter o vetor nulo.)]
Passo 4
Fechamento para adição: se
então
e
. Escrever matrizes genéricas:
com
e
.
A soma é
A soma é
O traço da soma é
Como
e
, segue que
Portanto
. Isso mostra que
é fechado sob adição.]
Passo 5
Fechamento para multiplicação por escalar: seja
com
e seja
um escalar (número real, presumindo
sobre
). Então
O traço de
é
Como
, obtemos
. Logo
. Isso mostra fechamento sob multiplicação por escalares.]
Passo 6
Conclusão da prova: já verifiquei os três requisitos da definição prática de subespaço:
-
contém a matriz zero (não vazio), -
é fechado para soma, -
é fechado para multiplicação por escalar.
Portantoé um subespaço vetorial de .
Para consolidar a intuição e ajudar na prova em uma prova de faculdade, eu ainda explico como parametrizar
e apresentar uma base (isso não era pedido, mas é útil para entender a estrutura de
).
Qualquer matriz
tem a forma
Isso implica
, então
Assim
.
Os três matrizes acima são linearmente independentes, logo formam uma base de e
. (Isto confirma que
é um subespaço de dimensão
dentro do espaço de todas as matrizes
, que tem dimensão
.)]
Os três matrizes acima são linearmente independentes, logo formam uma base de
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
. Uma base de
é
portanto
.]