O traço de uma matriz quadrada é a soma de seus elementos da diagonal principal. Seja \boldsymbol{S} o subconjunto de \boldsymbol{M}_{\mathbf{2 x} \mathbf{2}} de todas as matrizes de ‘traço zero’ . S é um subespaço vetorial de \boldsymbol{M}_{\mathbf{2 x} \boldsymbol{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma afirmação clara:
  • Temos o espaço vetorial das matrizes 2\times2, denotado por \,M_{2\times2}.
  • A função traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Para uma matriz
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o traço é \operatorname{tr}(A)=a+d.
  • Define-se o subconjunto S\subseteq M_{2\times2} formado por todas as matrizes de traço zero:
S=\{A\in M_{2\times2} \mid \operatorname{tr}(A)=0\}.
A pergunta implícita é: confirmar se S é um subespaço vetorial de M_{2\times2} (ou seja, provar que sim ou não).]

Passo 2

O que é preciso provar para mostrar que S é um subespaço vetorial?
Vou usar a definição prática e direta: um subconjunto não vazio S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se ele é fechado para soma e para multiplicação por escalares. Em linguagem matemática, devo verificar três propriedades:
  1. S não é vazio (normalmente mostrado com a matriz zero).
  2. Se A,B\in S então A+B\in S (fechamento para adição).
  3. Se A\in S e \lambda é escalar então \lambda A\in S (fechamento para multiplicação por escalar).
Vou provar cada item de forma clara e passo a passo.

Passo 3

Mostrando que S não é vazio: pegar a matriz zero.
A matriz zero em M_{2\times2} é
0=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
O traço dessa matriz é
\operatorname{tr}(0)=0+0=0.
Como \operatorname{tr}(0)=0, a matriz zero pertence a S. Portanto S não é vazio. (Ter o zero em S já é uma boa notícia — subespaços devem conter o vetor nulo.)]

Passo 4

Fechamento para adição: se A,B\in S então \operatorname{tr}(A)=0 e \operatorname{tr}(B)=0. Escrever matrizes genéricas:
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a' & b' \\[4pt] c' & d'\end{pmatrix},
com \operatorname{tr}(A)=a+d=0 e \operatorname{tr}(B)=a'+d'=0.
A soma é
A+B=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\[4pt] c+c' & d+d'\end{pmatrix}.
O traço da soma é
\operatorname{tr}(A+B)=(a+a')+(d+d')=(a+d)+(a'+d').
Como \operatorname{tr}(A)=a+d=0 e \operatorname{tr}(B)=a'+d'=0, segue que
\operatorname{tr}(A+B)=0+0=0.
Portanto A+B\in S. Isso mostra que S é fechado sob adição.]

Passo 5

Fechamento para multiplicação por escalar: seja A\in S com
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad \operatorname{tr}(A)=a+d=0,
e seja \lambda um escalar (número real, presumindo M_{2\times2} sobre \mathbb{R}). Então
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
O traço de \lambda A é
\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda a+\lambda d=\lambda(a+d).
Como a+d=0, obtemos \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\cdot 0=0. Logo \lambda A\in S. Isso mostra fechamento sob multiplicação por escalares.]

Passo 6

Conclusão da prova: já verifiquei os três requisitos da definição prática de subespaço:
  • S contém a matriz zero (não vazio),
  • S é fechado para soma,
  • S é fechado para multiplicação por escalar.
    Portanto S é um subespaço vetorial de M_{2\times2}.
Para consolidar a intuição e ajudar na prova em uma prova de faculdade, eu ainda explico como parametrizar S e apresentar uma base (isso não era pedido, mas é útil para entender a estrutura de S).
Qualquer matriz A\in S tem a forma
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\quad\text{com}\quad a+d=0.
Isso implica d=-a, então
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & -a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Assim \displaystyle S=\operatorname{span}\!\left\{\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Os três matrizes acima são linearmente independentes, logo formam uma base de S e \dim S=3. (Isto confirma que S é um subespaço de dimensão 3 dentro do espaço de todas as matrizes 2\times2, que tem dimensão 4.)]

Resposta

Sim. S é subespaço vetorial de M_{2\times2}. Uma base de S é
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
portanto \dim S=3.]

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