Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de R^3 ?
W=(x, y, z) in R^3: x <= y <= z;

Passo 1

O conjunto é
W = (x,y,z)inR^3 : x<= y<= z.
Para ser subespaço de R^3, W precisa conter o vetor zero, ser fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, o vetor zero (0,0,0) satisfaz 0<=0<=0, então 0in W.
Agora, se (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) estão em W, então
x1<= y1, y1<= z1, x2<= y2, y2<= z2
Somando as desigualdades correspondentes, obtém-se
x1+x2<= y1+y2<= z1+z2,
ou seja, (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in W. Logo, W é fechado sob adição.

Passo 3

Para verificar a multiplicação por escalar, tome alpha=-1 e o vetor v=(0,0,1).
Temos vin W pois 0<=0<=1, mas
alpha,v = -1cdot(0,0,1) = (0,0,-1)
não satisfaz 0<=0<=-1. Assim, alpha vnotin W, ou seja, W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

W não é subespaço de R^3 porque falha na propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar.

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