Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de R^3 ?
W=(x, y, z) in R^3: x+y in Q.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)inR^3 mid x+yinQ
e pergunta por que W não é subespaço de R^3. Lembrando que um subconjunto W é subespaço vetorial de R^3 se satisfaz três condições:
(i) contém o vetor zero,
(ii) é fechado sob adição de vetores,
(iii) é fechado sob multiplicação por escalares reais.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero:
o vetor 0=(0,0,0) satisfaz 0+0=0inQ,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Testamos a adição:
sejam
u=(x,y,z)in W, v=(x',y',z')in W,
então x+yinQ e x'+y'inQ. Assim
(x+x')+(y+y')=(x+y)+(x'+y')inQ,
de modo que u+vin W. Portanto W é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a multiplicação escalar e encontramos uma falha:
tome
u=(1,0,0)in W(pois 1+0=1inQ),
e o escalar irracional alpha=raiz2. Então
alpha,u=(raiz2,0,0)
e raiz2+0=raiz2notinQ,
logo alpha,unotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalares reais.

Passo 5

Como falha a condição de fechamento sob multiplicação escalar, concluímos que W não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W não é subespaço porque não é fechado sob multiplicação por escalares reais (por exemplo, (1,0,0)in W mas raiz2cdot(1,0,0)notin W).

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