Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de
?
.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta por que
não é subespaço de
. Lembrando que um subconjunto
é subespaço vetorial de
se satisfaz três condições:
(i) contém o vetor zero,
(ii) é fechado sob adição de vetores,
(iii) é fechado sob multiplicação por escalares reais.
(i) contém o vetor zero,
(ii) é fechado sob adição de vetores,
(iii) é fechado sob multiplicação por escalares reais.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero:
o vetor satisfaz
,
logo .
o vetor
logo
Passo 3
Testamos a adição:
sejam
sejam
então
e
. Assim
de modo que
. Portanto
é fechado sob adição.
Passo 4
Testamos a multiplicação escalar e encontramos uma falha:
tome
tome
e o escalar irracional
. Então
e
,
logo . Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalares reais.
logo
Passo 5
Como falha a condição de fechamento sob multiplicação escalar, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.