Quais dos seguintes subconjuntos de R^4 são linearmente independentes?
(2,0,1,2),(0,2,0,1),(1,1,1,1);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto de R^4
(2,0,1,2),;(0,2,0,1),;(1,1,1,1)
é linearmente independente. O conteúdo é teste de independência linear, que faz a combinação linear igualar ao vetor zero e analisa se só existe a solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero:
a(2,0,1,2)+b(0,2,0,1)+c(1,1,1,1)=(0,0,0,0)
Isso gera o sistema
2a + c = 0, 2b + c = 0, a + c = 0, 2a + b + c = 0

Passo 3

Da terceira equação temos c=-a. Substituindo em 2b+c=0 vem 2b - a=0, logo b=tfraca2. Agora, na primeira equação 2a+c=0 2a - a=0, de onde a=0. Assim b=0 e c=0.

Passo 4

Encontramos apenas a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0). Isso significa que não há combinação não trivial que produza o vetor zero, logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (2,0,1,2),(0,2,0,1),(1,1,1,1) é linearmente independente.

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