Sejam x e y vetores não-nulos em R^m e R^n, respectivamente, e seja A=xy^T.
(a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que y^T é uma base para o espaço linha de A.
(b) Qual a dimensão de N(A) ?

Passo 1

O enunciado dá dois vetores não nulos xin R^m e yin R^n e define a matriz A= x, y^T. Pede em (a) mostrar que x é base do espaço coluna de A e que y^T é base do espaço linha de A; e em (b) determinar dim N(A). Vamos usar a definição de espaços coluna e linha e o Teorema do Posto-Nulidade.

Passo 2

Para o espaço coluna note que a j-ésima coluna de A é
A(:,j) = x;yj,
ou seja, um múltiplo escalar de x. Logo todo vetor em Col(A) está em span x e, como xneq0, temos
Col(A)=span x,
de modo que x é de fato uma base.

Passo 3

Para o espaço linha note que a i-ésima linha de A vale
A(i,:) = xi, y^T,
isto é, um múltiplo de y^T. Assim
Row(A)=span y^T,
e como yneq0 segue que y^T é base do espaço linha.

Passo 4

Para achar N(A) resolvemos
A v = x,( y^T v)=0
Como xneq0, isso ocorre exatamente quando y^T v=0. O conjunto vin R^nmid y^T v=0 é um hiperplano de R^n e, portanto, tem dimensão n-1.

Resposta

(a) x é base do espaço coluna de A e y^T é base do espaço linha de A.
(b) dim N(A)=n-1.

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