Sejam x e y vetores não-nulos em
e
, respectivamente, e seja
.
(a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que
é uma base para o espaço linha de A.
(b) Qual a dimensão de
?
(a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que
(b) Qual a dimensão de
Passo 1
O enunciado dá dois vetores não nulos
e
e define a matriz
. Pede em (a) mostrar que
é base do espaço coluna de
e que
é base do espaço linha de
; e em (b) determinar
. Vamos usar a definição de espaços coluna e linha e o Teorema do Posto-Nulidade.
Passo 2
Para o espaço coluna note que a j-ésima coluna de
é
ou seja, um múltiplo escalar de
. Logo todo vetor em
está em
e, como
, temos
de modo que
é de fato uma base.
Passo 3
Para o espaço linha note que a i-ésima linha de
vale
isto é, um múltiplo de
. Assim
e como
segue que
é base do espaço linha.
Passo 4
Para achar
resolvemos
Como
, isso ocorre exatamente quando
. O conjunto
é um hiperplano de
e, portanto, tem dimensão
.
Resposta
(a)
é base do espaço coluna de
e
é base do espaço linha de
.
(b) .
(b)