Quais dos seguintes subconjuntos de R^4 são linearmente independentes?
(1,0,-1,2),(0,2,3,1),(0,1,1,0),(-2,1,2,1);

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto de R^4 formado por
v1=(1,0,-1,2), v2=(0,2,3,1), v3=(0,1,1,0), v4=(-2,1,2,1)
e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes. Vamos usar a definição: devem satisfazer apenas a combinação trivial.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero:
a1v1+a2v2+a3v3+a4v4=(0,0,0,0)
Isto dá o sistema de equações coordenada a coordenada.

Passo 3

As quatro equações são
a1-2a4=0, 2a2+a3+a4=0, -,a1+3a2+a3+2a4=0, 2a1+a2+a4=0

Passo 4

Da primeira equação segue
Da segunda , ou seja . Finalmente a terceira dá , logo . Daí , e .

Passo 5

Só há solução trivial a1=a2=a3=a4=0, o que mostra que v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (1,0,-1,2),(0,2,3,1),(0,1,1,0),(-2,1,2,1) é linearmente independente.

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