Exercício 5. Seja
uma matriz (quadrada) de ordem
. Dizemos que
é invertível quando existe uma matriz, denotada por
, que satisfaz
Prove que as afirmações abaixo são equivalentes. A maioria das implicações podem ser obtidas utilizando as diferentes representações do exercício anterior.
(i)
é invertível;
(ii) Existe uma matriz
tal que
;
(iii) Existe uma matriz
tal que
;
(iv) Para todo
, o sistema
possui exatamente uma solução;
(v) O sistema
possui somente a solução trivial;
(vi) As colunas
de
são linearmente independentes;
(vii) Todo vetor
pode ser escrito como combinação linear das colunas
de
;
(viii) Todo vetor
pertence a
, espaço gerado pelas colunas de
;
(ix) As colunas de
geram
, isto é,
;
(x)
é sobrejetiva;
(xi)
;
(xii)
é injetiva;
(xiii)
;
(xiv)
é invertível,
(xv)
é invertível.
(i)
(ii) Existe uma matriz
(iii) Existe uma matriz
(iv) Para todo
(v) O sistema
(vi) As colunas
(vii) Todo vetor
(viii) Todo vetor
(ix) As colunas de
(x)
(xi)
(xii)
(xiii)
(xiv)
(xv)
Passo 1
O enunciado trata de uma matriz quadrada
e de várias propriedades equivalentes a “
é invertível”. Vamos usar:
- Definição de inversa de matriz.
- Interpretação de
como aplicação linear , . - Fatos sobre sistemas lineares, núcleo e imagem de
, independência e geração de colunas.
Passo 2
Suponha que
é invertível, ou seja, existe
tal que
Definindo
obtemos
, logo (i)
(ii). Similarmente tomando
em
dá (i)
(iii).
Passo 3
Suponha (ii): existe
com
. Dado
, ponha
. Então
logo o sistema
tem solução. Para ver a unicidade, se
forem soluções,
e aplicando
obtemos
. Assim (ii)
(iv).
Passo 4
Suponha (iv): para todo
o sistema
tem exatamente uma solução.
- Tomando
, concluímos que tem só a solução trivial , ou seja, (iv) (v). - A afirmação (v) significa
. Pela definição de independência das colunas de , isso é equivalente a dizer que as colunas de são linearmente independentes, isto é, (v) (vi). - Também
é exatamente injetividade de , isto é, (v) (xii).
Passo 5
Suponha (vi): as colunas
de
são L.I. Então o posto de
é
. Como
é
, o espaço gerado pelas colunas tem dimensão
em
, ou seja,
. Essa é (ix).
Passo 6
Suponha (ix):
.
- Então todo
é combinação linear das colunas, ou seja, (ix) (vii) e (ix) (viii). - Mas (viii) é exatamente dizer que para todo
existe com , isto é, é sobrejetiva, ou seja, (viii) (x). - Sobrejetividade de
também equivale a , ou seja, (x) (xi).
Passo 7
Agora temos injetividade (xii) e sobrejetividade (x)/(xi) de
. É um fato padrão que uma aplicação linear de espaço finito-dimenso é invertível (bijetiva) se, e só se, for injetiva e sobrejetiva. Logo
Passo 8
Mas (xiv) afirma que
tem inversa linear
. Em coordenadas matriciais isso dá uma matriz
tal que
e
. Logo (xiv)
(i).
Passo 9
Para fechar o ciclo, note também diretamente que se
é invertível então
e portanto
. Isso mostra (i)
(xv).
Passo 10
Finalmente, se
é invertível então
implica
e assim
é invertível, ou seja, (xv)
(i).
Resposta
Concluímos que todas as afirmações (i)–(xv) são equivalentes.