Exercício 5. Seja A uma matriz (quadrada) de ordem n times n. Dizemos que A é invertível quando existe uma matriz, denotada por A^-1, que satisfaz
A A^-1=I e A^-1 A=I
Prove que as afirmações abaixo são equivalentes. A maioria das implicações podem ser obtidas utilizando as diferentes representações do exercício anterior.
(i) A é invertível;
(ii) Existe uma matriz B tal que A B=I;
(iii) Existe uma matriz C tal que C A=I;
(iv) Para todo b in R^n, o sistema A x=b possui exatamente uma solução;
(v) O sistema A x=0 possui somente a solução trivial;
(vi) As colunas c1, c2, ldots, cn de A são linearmente independentes;
(vii) Todo vetor b in R^n pode ser escrito como combinação linear das colunas c1, c2, ldots, cn de A;
(viii) Todo vetor b in R^n pertence a Gerc1, c2, ldots, cn, espaço gerado pelas colunas de A;
(ix) As colunas de A geram R^n, isto é, Gerc1, c2, ldots, cn=R^n;
(x) T(x)=A x é sobrejetiva;
(xi) Im T=R^n;
(xii) T(x)=A x é injetiva;
(xiii) Nuc T=0;
(xiv) T(x)=A x é invertível,
(xv) A^T é invertível.

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz quadrada AinR^ntimes n e de várias propriedades equivalentes a “ A é invertível”. Vamos usar:
  1. Definição de inversa de matriz.
  2. Interpretação de A como aplicação linear TcolonR^ntoR^n, T(x)=Ax.
  3. Fatos sobre sistemas lineares, núcleo e imagem de T, independência e geração de colunas.

Passo 2

Suponha que A é invertível, ou seja, existe A^-1 tal que
A,A^-1=I e A^-1A=I
Definindo B=A^-1 obtemos A B = I, logo (i) implies(ii). Similarmente tomando C=A^-1 em C A=I dá (i) implies(iii).

Passo 3

Suponha (ii): existe B com A B=I. Dado binR^n, ponha x=B,b. Então
A x = A(Bb)=(AB)b = Ib = b,
logo o sistema Ax=b tem solução. Para ver a unicidade, se x1,x2 forem soluções, A(x1-x2)=0 e aplicando B obtemos x1-x2=B,0=0. Assim (ii) implies(iv).

Passo 4

Suponha (iv): para todo b o sistema Ax=b tem exatamente uma solução.
  • Tomando b=0, concluímos que Ax=0 tem só a solução trivial x=0, ou seja, (iv) implies(v).
  • A afirmação (v) significa ker T=0. Pela definição de independência das colunas de A, isso é equivalente a dizer que as colunas de A são linearmente independentes, isto é, (v) iff(vi).
  • Também ker T=0 é exatamente injetividade de T, isto é, (v) iff(xii).

Passo 5

Suponha (vi): as colunas c1,dots,cn de A são L.I. Então o posto de A é n. Como A é ntimes n, o espaço gerado pelas colunas tem dimensão n em R^n, ou seja, Gerc1,dots,cn=R^n. Essa é (ix).

Passo 6

Suponha (ix): Gerc1,dots,cn=R^n.
  • Então todo binR^n é combinação linear das colunas, ou seja, (ix) implies(vii) e (ix) implies(viii).
  • Mas (viii) é exatamente dizer que para todo b existe x com Ax=b, isto é, T é sobrejetiva, ou seja, (viii) iff(x).
  • Sobrejetividade de T também equivale a Im,T=R^n, ou seja, (x) iff(xi).

Passo 7

Agora temos injetividade (xii) e sobrejetividade (x)/(xi) de T. É um fato padrão que uma aplicação linear de espaço finito-dimenso é invertível (bijetiva) se, e só se, for injetiva e sobrejetiva. Logo
(xii) e (x)/(xi)Longrightarrow(xiv)

Passo 8

Mas (xiv) afirma que T tem inversa linear T^-1. Em coordenadas matriciais isso dá uma matriz A^-1 tal que A A^-1=I e A^-1A=I. Logo (xiv) implies(i).

Passo 9

Para fechar o ciclo, note também diretamente que se A é invertível então det Aneq0 e portanto det A^T=det Aneq0. Isso mostra (i) implies(xv).

Passo 10

Finalmente, se A^T é invertível então det A^Tneq0 implica det Aneq0 e assim A é invertível, ou seja, (xv) implies(i).

Resposta

Concluímos que todas as afirmações (i)–(xv) são equivalentes.

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