Mostre que:
Se v neq 0 in V, então o conjunto formado pelo vetor v é, linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pertence a Álgebra Linear e pede para mostrarmos que, dado um espaço vetorial V e um vetor não-nulo vin V, o conjunto v é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto v1,dots,vk é linearmente independente se, sempre que
alpha1v1 + cdots + alphakvk = bar 0,
então todos os escalares alphai são zero.

Passo 2

No nosso caso há apenas um vetor, então consideramos a combinação linear
alpha,v = bar 0
Pela definição de independência, precisamos mostrar que alpha=0 é a única forma de obter o vetor nulo.

Passo 3

Como vneq bar 0, a única maneira de ter alpha,v = bar 0 é fazendo alpha=0. Se alphaneq0, então alpha,vneqbar 0, pois multiplicar um vetor não-nulo por escalar não-nulo nunca dá o vetor zero.

Resposta

Portanto, o conjunto v é linearmente independente.

Exercícios relacionados