Quais dos seguintes subconjuntos de R^4 são linearmente independentes?
(3,8,7,3),(1,2,1,3),(1,4,0,-1);

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
v1=(3,8,7,3), v2=(1,2,1,3), v3=(1,4,0,-1)
e pede para verificar se eles são linearmente independentes. Vamos usar a definição: são independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero tem todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0)

Passo 3

Traduzimos em sistema de equações linha a linha:
3a + b + c = 0, 8a + 2b + 4c = 0, 7a + b = 0, 3a + 3b - c = 0

Passo 4

Da terceira equação obtém-se
b = -7a
Substituindo em 3a + b + c = 0
3a -7a + c = 0 Longrightarrow c = 4a

Passo 5

Agora substituímos b=-7a e c=4a na segunda equação:
8a + 2(-7a) + 4(4a) = 8a -14a +16a = 10a = 0 Longrightarrow a = 0
Logo b = -7cdot0 = 0 e c = 4cdot0 = 0. A quarta equação também fica satisfeita.

Resposta

O conjunto (3,8,7,3),(1,2,1,3),(1,4,0,-1) é linearmente independente.

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