Mostre que:
Sejam u, v in V. O conjunto formado pelos vetores u e v são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial V, o par de vetores u,v é linearmente dependente se, e somente se, um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
Conteúdo: definição de combinação linear, de dependência linear e de múltiplo escalar.

Passo 2

Vamos provar a implicação “ u,v é LD Longrightarrow um é múltiplo do outro)”.
Como u,v é linearmente dependente, existem escalares alpha,beta, não ambos zero, tais que
alpha,u + beta,v = 0
Se alphaneq0, isolamos u:
u = -betaalpha,v,
ou seja, u é múltiplo de v.
Se alpha=0, então betaneq0 e a igualdade fica
beta,v = 0 ;Longrightarrow; v = 0 = 0cdot u,
logo v é múltiplo de u.

Passo 3

Agora provamos “um é múltiplo do outro Longrightarrow u,v é LD”.
Suponha que exista lambda tal que u = lambda,v. Então
u - lambda,v = 0
é uma combinação linear não trivial de u e v, pois os coeficientes (1,-lambda) não são ambos zero. Logo u,v é linearmente dependente.

Resposta

Mostramos que u,v é LD exatamente quando u é múltiplo de v ou v é múltiplo de u.

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