Mostre que:
Sejam
. O conjunto formado pelos vetores
e
são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial
, o par de vetores
é linearmente dependente se, e somente se, um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
Conteúdo: definição de combinação linear, de dependência linear e de múltiplo escalar.
Conteúdo: definição de combinação linear, de dependência linear e de múltiplo escalar.
Passo 2
Vamos provar a implicação “
é LD
um é múltiplo do outro)”.
Como é linearmente dependente, existem escalares
, não ambos zero, tais que
Como
Se
, isolamos
:
ou seja,
é múltiplo de
.
Se , então
e a igualdade fica
Se
logo
é múltiplo de
.
Passo 3
Agora provamos “um é múltiplo do outro
é LD”.
Suponha que exista tal que
. Então
Suponha que exista
é uma combinação linear não trivial de
e
, pois os coeficientes
não são ambos zero. Logo
é linearmente dependente.
Resposta
Mostramos que
é LD exatamente quando
é múltiplo de
ou
é múltiplo de
.