Exercício 6. Seja
tal que
Acima, estamos escrevendo
, onde
e
. Prove que, para
fixado, existe único
tal que
Além disso, a aplicação
é linear. Este problema pode ser visto como uma “versão linear” do Teorema da Função Implícita, a ser visto em aula.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear
e a condição
e a condição
Aqui estamos escrevendo um vetor de
como
com
e
. Precisamos mostrar que, para cada
fixado, existe um único
tal que
e que a função
é linear. Para isso vamos usar as noções de injetividade e invertibilidade de aplicações lineares em espaços de mesma dimensão.
Passo 2
Definimos a restrição a que só atua na parte
:
Como a hipótese diz que
implica
, concluímos que
é injetora. Em espaços vetoriais finito-dimensionais, uma aplicação linear injetora entre espaços de mesma dimensão é necessariamente sobrejetora e, portanto, inversível. Logo existe
linear.
Passo 3
Para resolver
, note que pela linearidade de
temos
Queremos
, isto é,
Como
é invertível, existe uma e só uma solução
Isso prova simultaneamente a existência e a unicidade de
para cada
.
Passo 4
Definimos então a aplicação solução
Como é composição de aplicações lineares (
é linear e
também é), segue que
é linear.
Resposta
Para cada
existe única solução
de
, e a aplicação
é linear.