Exercício 6. Seja T in L(R^n+k, R^n) tal que
T(x, 0)=0 Longrightarrow x=0
Acima, estamos escrevendo (x, y) in R^n+k, onde x in R^n e y in R^k. Prove que, para y in R^k fixado, existe único x=x(y) in R^n tal que
T(x, y)=0
Além disso, a aplicação y longmapsto x(y) é linear. Este problema pode ser visto como uma “versão linear” do Teorema da Função Implícita, a ser visto em aula.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear
;Tcolon R^n+ktoR^n
e a condição
T(x,0)=0;Longrightarrow;x=0
Aqui estamos escrevendo um vetor de R^n+k como (x,y) com xinR^n e yinR^k. Precisamos mostrar que, para cada y fixado, existe um único x tal que
T(x,y)=0
e que a função ymapsto x(y) é linear. Para isso vamos usar as noções de injetividade e invertibilidade de aplicações lineares em espaços de mesma dimensão.

Passo 2

Definimos a restrição a que só atua na parte x:
T1colon R^ntoR^n, T1(x)=T(x,0)
Como a hipótese diz que T1(x)=0 implica x=0, concluímos que T1 é injetora. Em espaços vetoriais finito-dimensionais, uma aplicação linear injetora entre espaços de mesma dimensão é necessariamente sobrejetora e, portanto, inversível. Logo existe
T1^-1colon R^ntoR^n
linear.

Passo 3

Para resolver T(x,y)=0, note que pela linearidade de T temos
T(x,y)=T(x,0)+T(0,y)=T1(x)+T(0,y)
Queremos T1(x)+T(0,y)=0, isto é,
T1(x)=-,T(0,y)
Como T1 é invertível, existe uma e só uma solução
x = T1^-1l(-,T(0,y)r)
Isso prova simultaneamente a existência e a unicidade de x para cada y.

Passo 4

Definimos então a aplicação solução
x(y) = -,T1^-1l(T(0,y)r)
Como é composição de aplicações lineares ( ymapsto T(0,y) é linear e T1^-1 também é), segue que ymapsto x(y) é linear.

Resposta

Para cada yinR^k existe única solução
x(y) = -,T1^-1l(T(0,y)r)
de T(x,y)=0, e a aplicação ymapsto x(y) é linear.

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