Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
? O conjunto de todos os vetores do tipo
(
) tais que
(
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos decidir se
é subespaço de
. Para isso, lembramos que basta verificar três propriedades:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo na equação,
Logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Tomemos dois vetores arbitrários em
,
e
, que satisfazem
Então, somando componente a componente, o vetor
cumpre
Portanto
é fechado sob soma.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, ou seja
. Então
verifica
verifica
Logo
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.