Quais dos seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços de R^4 ? O conjunto de todos os vetores do tipo
( a, b, c, d ) tais que a+2 b+3 c+4 d=0

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial R^4 e o subconjunto
W = (a,b,c,d)inR^4 mid a + 2b + 3c + 4d = 0
Queremos decidir se W é subespaço de R^4. Para isso, lembramos que basta verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a W. Substituindo na equação,
0 + 2cdot0 + 3cdot0 + 4cdot0 = 0
Logo (0,0,0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos dois vetores arbitrários em W,
,(a1,b1,c1,d1) e (a2,b2,c2,d2), que satisfazem
a1 + 2b1 + 3c1 + 4d1 = 0 e a2 + 2b2 + 3c2 + 4d2 = 0
Então, somando componente a componente, o vetor
,(a1+a2,b1+b2,c1+c2,d1+d2) cumpre
(a1+a2) + 2(b1+b2) + 3(c1+c2) + 4(d1+d2) = (a1+2b1+3c1+4d1) + (a2+2b2+3c2+4d2) = 0 + 0 = 0
Portanto W é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
(a,b,c,d)in W, ou seja a+2b+3c+4d=0. Então
,lambda(a,b,c,d) = (lambda a,lambda b,lambda c,lambda d)
verifica
lambda a + 2(lambda b) + 3(lambda c) + 4(lambda d) = lambda,(a + 2b + 3c + 4d) = lambdacdot0 = 0
Logo W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço de R^4.

Resposta

W é subespaço de R^4.

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